[논문 리뷰] On the size of Siegel disks with fixed multiplier for cubic polynomials

Arnaud Chéritat|arXiv (Cornell University)|2020. 03. 30.

Mathematical Dynamics and Fractals인용 수 2

한 줄 요약

이 논문은 고정된 고정점의 승수 λ를 고정하고 선형화 매개변수화의 수렴 반경을 분석함으로써 삼차 다항식에서 시겔 디스크의 크기를 조사한다. 이는 −log r라는 조화함수를 도입하고, 그 라플라스 연산자 µλ가 중립적인 경우에 해당하는 자케리 곡선과 유사한 곡선 위에 지지된 측도임을 보여준다. 주요 결과로는 λₙ = exp(2πi pₙ/qₙ)가 유계 유리수형 회전 수 λ로 수렴함에 따라 µλₙ가 약한-* 수렴함을 증명한다.

ABSTRACT

We study the slices of the parameter space of cubic polynomials where we fix the multiplier of a fixed point to some value $\lambda$. The main object of interest here is the radius of convergence of the linearizing parametrization. The opposite of its logarithm turns out to be a sub-harmonic function of the parameter whose Laplacian $\mu_\lambda$ is of particular interest. We relate its support to the Zakeri curve in the case the multiplier is neutral with a bounded type irrational rotation number. In the attracting case, we define and study an analogue of the Zakeri curve, using work of Petersen and Tan. In the parabolic case, we define an analogue using the notion of asymptotic size. We prove a convergence theorem of $\mu_{\lambda_n}$ to $\mu_\lambda$ for $\lambda_n= \exp(2\pi i p_n/q_nn)$ and $\lambda = \exp(2\pi i heta)$ where $ heta$ is a bounded type irrational and $p_n/q_n$ are its convergents.

연구 동기 및 목표

• 고정된 승수를 가진 삼차 다항식에서 매개변수 공간에 따른 시겔 디스크 크기의 의존성을 분석한다.
• 흡인 및 평형 경우에 대해 자케리 곡선의 유사체를 정의하고 연구한다.
• λₙ = exp(2πi pₙ/qₙ)가 유계 유리수형 무리수 회전 수 λ로 수렴함에 따라 측도 µλₙ가 µλ로 수렴함을 증명한다.
• −log r의 라플라스 연산자의 지지부가 임계점 경계 및 열화된 평형 고정점과 같은 역학적 구조와 어떻게 관련되는지 밝힌다.

제안 방법

• 선형화 매개변수화 ψθ를 사용하여 시겔 디스크의 등각 반경 r을 정의한다.
• −log r라는 조화함수를 도입하고, 그 라플라스 연산자 µλ = ∆(−log r)를 정의하며 총 질량이 2π임을 보인다.
• 흡인 경우, Petersen-Tan 정리를 사용하여 µλ의 지지부가 두 임계점이 U(P)의 경계 위에 있을 때의 집합 Zλ임을 보인다.
• 중립 경우(유계 유리수형), µλ의 지지부가 자케리 곡선임을 증명한다.
• 평형 경우, 점점 커지는 크기 L을 정의하고, −log L이 조화함수이며, 라플라스 연산자가 열화된 고정점에서 집중된다는 것을 보인다.
• 연분수 근사와 변형 추정을 적용하여, 수렴자들 沿해 µλₙ가 µλ로 약한-* 수렴함을 증명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 승수 λ가 고정되어 있고 시겔 디스크 반경이 최소화되는 매개변수 공간의 구조는 어떠한가?
• RQ2 측도 µλ = ∆(−log r)의 지지부는 시겔 디스크 또는 영역의 역학적 경계와 어떻게 관련되는가?
• RQ3 흡인 및 평형 경우에 자케리 곡선의 유사체를 정의할 수 있는가?
• RQ4 λₙ = exp(2πi pₙ/qₙ)가 유계 유리수형 무리수 λ로 수렴함에 따라 측도 µλₙ는 어떻게 행동하는가?
• RQ5 평형 경우에서 점점 커지는 크기 L의 역할은 무엇이며, −log L의 라플라스 연산자와 어떻게 관련되는가?

주요 결과

• 중립 경우에서 유계 유리수형 회전 수를 가진다 하더라도, µλ = ∆(−log r)의 지지부는 정확히 자케리 곡선이다.
• 흡인 경우, µλ의 지지부는 두 임계점이 선형화 매핑의 디스크 이미지 U(P)의 경계 위에 있을 때의 집합 Zλ이다.
• 평형 경우, −log L의 라플라스 연산자는 열화된 고정점(즉, 너무 많은 꽃잎을 가진)에서 집중된 델타 측도의 합이다.
• λₙ = exp(2πi pₙ/qₙ)가 유계 유리수형 무리수 λ로 수렴함에 따라 측도 µλₙ가 약한-* 수렴함을 증명한다.
• |c| ≥1 인 경우, |fn,c(z) − Rθ(z)|는 O(|pn/qn − θ| / d0(r⁻¹|z|))로 유계이며, 이는 반복 함수의 균일 수렴을 이끈다.
• lim supₙ→∞ sup|c|≥1 (un(c) − uθ(c)) ≤ 0이 성립함을 보이며, 이는 조화함수들의 수렴을 의미한다.