[논문 리뷰] On the Skew-Symmetric Binary Sequences and the Merit Factor Problem

Miroslav Dimitrov|arXiv (Cornell University)|2021. 06. 07.

Metaheuristic Optimization Algorithms Research인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 비대칭 이진 순열 최적화를 위해 스위치 연산의 수학적 성질을 활용하여 메모리 복잡도를 O(n²)에서 O(n)으로 감소시키는 경량 스토하스틱 알고리즘을 제안한다. 길이 10⁵+1까지의 순열에서 미너스 인자 5 이상을 달성하며, 런타임은 순열 길이에 대해 제곱법적으로 증가한다.

ABSTRACT

The merit factor problem is of practical importance to manifold domains, such as digital communications engineering, radars, system modulation, system testing, information theory, physics, chemistry. However, the merit factor problem is referenced as one of the most difficult optimization problems and it was further conjectured that stochastic search procedures will not yield merit factors higher than 5 for long binary sequences (sequences with lengths greater than 200). Some useful mathematical properties related to the flip operation of the skew-symmetric binary sequences are presented in this work. By exploiting those properties, the memory complexity of state-of-the-art stochastic merit factor optimization algorithms could be reduced from $O(n^2)$ to $O(n)$. As a proof of concept, a lightweight stochastic algorithm was constructed, which can optimize pseudo-randomly generated skew-symmetric binary sequences with long lengths (up to ${10}^5+1$) to skew-symmetric binary sequences with a merit factor greater than 5. An approximation of the required time is also provided. The numerical experiments suggest that the algorithm is universal and could be applied to skew-symmetric binary sequences with arbitrary lengths.

연구 동기 및 목표

• 비대칭 이진 순열 최적화를 위한 고메모리 스토하스틱 알고리즘의 계산 불가능성을 해결한다.
• 비대칭 구조에 대한 수학적 통찰을 활용하여 스위치 연산의 메모리 복잡도를 O(n²)에서 O(n)으로 감소시킨다.
• 긴 길이(10⁵+1까지)에서 미너스 인자 >5를 갖는 비대칭 이진 순열을 찾을 수 있는 경량 스토하스틱 알고리즘을 개발한다.
• 다양한 순열 길이에서 높은 미너스 인자를 달성하는 데 소요되는 시간에 대한 경험적 및 분석적 근사치를 제공한다.

제안 방법

• 비대칭 이진 순열의 수학적 성질을 활용하여, 미너스 인자 계산에 사용되는 전통적 타우 테이블(τ(S))의 대체로 O(n) 복잡도를 갖는 수학적으로 유도된 방법을 도출한다.
• 국소(L) 및 전역(G) 향상 히ュ리스틱을 사용하여 탐색 단계를 이끄는 스토하스틱 최적화 알고리즘을 설계한다.
• 지속적으로 지역 최소값에서 벗어나기 위해 Q개의 랜덤 비트를 스위치하는 '쿼이크(Quake)' 기능을 구현하며, Q는 순열 길이에 따라 동적으로 조정된다.
• 실험적 (n, Q) 쌍을 바탕으로 선형 회귀를 적용하여 필요한 쿼이크 수를 Q ≈ 0.001578787n − 1.546093로 모델링한다.
• 실험적 (n, T) 측정값에 대해 제곱 회귀를 적용하여 런타임 T ≈ 177.2867 − 0.0562043n + 0.000002340029n² 초로 추정한다.
• 999에서 100,001 길이의 순열 길이에 걸쳐 알고리즘을 검증하였으며, 12스레드 시스템에서 C++로 구현하여 런타임 간 일관된 성능을 확보하였다.

Figure 1: A linear regression made to all the $(n,\mathbb{Q})$ pairs from Table III . The equation representing the linear fit is $\mathbb{Q}=0.001578787n-1.546093$ .

실험 결과

연구 질문

• RQ1 비대칭 이진 순열에 대한 스토하스틱 미너스 인자 최적화의 메모리 복잡도를 비대칭 구조의 성질을 활용하여 O(n²)에서 O(n)으로 감소시킬 수 있는가?
• RQ2 긴 비대칭 순열에서 미너스 인자 >5를 달성하기 위해 필요한 최소한의 랜덤 비트 스위치 수(Q)는 얼마인가?
• RQ3 미너스 인자 >5를 달성하기 위해 순열 길이 n이 증가함에 따라 런타임이 어떻게 변화하는가?
• RQ4 일반화된, 경량 스토하스틱 알고리즘이 임의의 홀수 길이(10⁵+1까지)에서 일관되게 높은 미너스 인자 비대칭 순열을 생성할 수 있는가?
• RQ5 순열 길이와 높은 미너스 인자를 달성하기 위해 필요한 쿼이크 수 사이에 예측 가능한 관계가 존재하는가?

주요 결과

• 제안된 알고리즘은 타우 테이블을 수학적으로 유도된 O(n) 대체 방법으로 교체함으로써 스위치 연산의 메모리 복잡도를 O(n²)에서 O(n)으로 감소시켰다.
• 길이 10,001인 순열의 경우, Q = 14개의 쿼이크를 사용하여 약 1분 만에 미너스 인자 >5를 달성하였다.
• 길이 20,001일 경우, 약 4분이 소요되어 미너스 인자 >5를 달성하였으며, Q = 30이었다.
• 길이 50,001일 경우, 런타임은 약 40분이었고, Q = 70개의 쿼이크를 사용하였다.
• 길이 100,001일 경우, 약 5시간이 소요되어 미너스 인자 >5를 달성하였으며, Q = 160개의 쿼이크를 사용하였다.
• 필요한 쿼이크 수 Q는 n에 대해 선형적으로 증가하며, 적합된 모델은 Q ≈ 0.001578787n − 1.546093이다.

Figure 2: A quadratic regression made to all the $(n,\mathbb{T})$ measurements. The equation representing the quadratic fit is $\mathbb{T}=177.2867-0.0562043n+0.000002340029n^{2}$ .