[논문 리뷰] On the smoothness of normalisers and the subalgebra structure of modular Lie algebras

Sebastian Herpel, David I. Stewart|arXiv (Cornell University)|2014. 02. 25.

Advanced Algebra and Geometry참고 문헌 24인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 양의 특성 $p$를 가진 체 위의 재수성 대수적 그룹의 모듈라 리 대수에서 부분대수의 정규화자를 매끄럽게 만들 조건을 공호모로지 소멸과 표현론적 기법을 사용하여 설정한다. 연결된 재수성 군 $G$의 랭크가 $r$일 때, $d$가 $G$의 최소 충실 표현의 차원이라면 $p > 2^{2d}$이면 $ℓ = \operatorname{Lie}(G)$의 모든 부분공간의 정규화자가 매끄럽다는 것을 증명한다. 또한 반례를 통해 이 경계가 정확히 필요한 것으로 밝혀졌다.

ABSTRACT

We provide results on the smoothness of normalisers in connected reductive algebraic groups $G$ over fields $k$ of positive characteristic $p$. Specifically we we give bounds on $p$ which guarantee that normalisers of subalgebras of $\mathfrak{g}$ in $G$ are smooth, i.e.\ so that the Lie algebras of these normalisers coincide with the infinitesimal normalisers. One of our main tools is to exploit cohomology vanishing of small dimensional modules. Along the way, we obtain complete reducibility results for small dimensional modules in the spirit of similar results due to Jantzen, Guralnick, Serre and Bendel--Nakano--Pillen.

연구 동기 및 목표

• 모듈라 리 대수에서 부분대수의 정규화자가 매끄럽게 되는 조건을 특정하는 것, 특히 양의 특성 $p$에서의 경우.
• 군 스킴이 재수성임에도 불구하고 매끄럽지 않은 경우가 있는 양의 특성에서의 카르티에 정리의 실패를 다루는 것, 예를 들어 $\mu_p$와 $\mathrm{SL}_p$와 같은 군 스킴들.
• 특히 $ℓ$의 부분공간과 연결된 재수성 부분군에 대해 정규화자의 매끄러움을 보장하는 $p$에 대한 날카로운 경계를 설정하는 것.
• 작은 차원의 모듈의 공호모로지 소멸과 정규화자의 매끄러움, 그리고 완전 가역성 간의 연결 고리 설정.
• 피보나치 수와 기울임 모듈을 사용한 명시적 반례를 통해 $p > 2^{2d}$ 경계가 거의 최적임을 보여주는 것.

제안 방법

• 정규화자의 매끄러움을 제어하기 위해 작은 차원의 모듈의 공호모로지 소멸을 핵심 도구로 사용한다.
• 스테인베르크의 텐서곱 정리와 기울임 모듈 분해와 같은 표현론 결과를 활용하여 리 대수 작용을 분석한다.
• 군론적 감소 기법을 통해 재수성 부분군의 정규화자의 매끄러움을 중심자 매끄러움으로 환원한다.
• 지수화와 공코어스터의 올림 기법을 사용하여 리 이론적 정규화자와 스킴 이론적 정규화자를 연결한다.
• 유니포텐트 부분군과 담비 궤도를 사용한 명시적 반례를 구성하여, $p$가 너무 작을 경우 매끄러움이 실패함을 보여준다.
• 포물선 부분군과 모듈 제약을 사용하여 $ℓ_n$과 $ℓ_n$에서 정규화자의 구조를 분석하고, 비매끄러움을 탐지한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 연결된 재수성 군 $G$에 대해, $ℓ = \operatorname{Lie}(G)$의 모든 부분공간에 대해 정규화자가 매끄럽게 되는 소수 $p$에 대한 조건은 무엇인가?
• RQ2 모든 $ℓ$의 부분대수에 대해 정규화자의 매끄러움을 균일하게 보장할 수 있으며, 이를 위해 필요한 $p$의 경계는 무엇인가?
• RQ3 왜 정규화자가 양의 특성에서 매끄럽지 않은가? 그리고 토리가 리이론적 정규화자에서 군 이론적 정규화자로 올라가지 못하는 구조적 장애는 무엇인가?
• RQ4 작은 모듈의 공호모로지 소멸이 완전 가역성과 정규화자의 매끄러움을 얼마나 잘 암시하는가?
• RQ5 경계 $p > 2^{2d}$는 얼마나 날카로운가? 이를 개선할 수 있는가, 아니면 최적인가?

주요 결과

• 연결된 재수성 군 $G$의 랭크가 $r$일 때, $d$가 $G$의 최소 충실 표현의 차원이라면 $p > 2^{2d}$이면 $ℓ$의 모든 부분공간의 정규화자가 매끄럽다.
• $G = \mathrm{GL}_n$인 경우 경계는 $p > 2^{2n}$로 단순화되며, 이는 모든 정규화자가 매끄럽다는 것을 보장한다.
• $p > 2^{2d}$ 경계가 거의 최적임이 반례를 통해 입증되었으며, 이는 $p$가 $n$번째 피보나치 수 $F_n$를 나눌 경우에 해당하며, $F_n \sim 1.6^n$은 지수적으로 증가한다.
• $G = \mathrm{GL}_n$일 경우, $p < 2n - 1$이면 정규화자의 매끄러움이 실패한다. 이는 $ℓ_2$-모듈과 비매끄러운 안정자와 함께 가지는 기울임 모듈을 사용한 구성으로 입증된다.
• 리이론적 정규화자가 $ℓ = \mathfrak{sl}_2$를 포함하지만, 해당 군 $H = \mathrm{SL}_2$를 포함하지 않는 스킴 이론적 정규화자가 존재할 경우, 부분공간 $M$의 정규화자는 매끄럽지 않다. 이는 $ℓ^1$에서 비자명한 확장이 존재하기 때문이다.
• 예시들은 정규화자가 담비 원소로 생성되더라도 $p \leq 2n - 1$일 경우 매끄러움이 실패함을 보여주며, 이는 정리 B(ii)의 경계를 더 이상 개선할 수 없음을 증명한다.