[논문 리뷰] On the solution of the massless Thirring model with fermion fields quantized in the chiral symmetric phase

M. Faber, A. N. Ivanov|ArXiv.org|2001. 12. 19.

Quantum Chromodynamics and Particle Interactions참고 문헌 2인용 수 11

한 줄 요약

이 논문은 페르미온을 카이랄 대칭 상에서 양자화한 질량이 없는 티르링 모형을 재검토하며, 클라이버의 연산자 형식에서의 모순—특히 비표준적인 페어티 성질과 적외색 발산—을 규명한다. 비초순환적 재규합이 이러한 발산을 적외색에서 극복하고 고에너지 영역으로 이동시킴을 보이며, 티르링 모형과 이중적인 사인-고르돈 모형이 점점 더 자유롭지 않으며, 완전히 비초순환적으로 재규합 가능하다는 것을 보여준다.

ABSTRACT

Correlation functions of fermionic fields described by the massless Thirring model are analysed within the operator formalism developed by Klaiber and the path-integral approach with massless fermions quantized in the chiral symmetric phase. We notice that Klaiber's composite fermion operators possess non-standard properties under parity transformations and construct operators with standard parity properties. We find that Klaiber's parameterization of a one-parameter family of solutions of the massless Thirring model is not well defined, since it is not consistent with the requirement of chiral symmetry. We show that the dynamical dimensions of correlation functions depend on an arbitrary parameter induced by ambiguities of the evaluation of the chiral Jacobian. A non-perturbative renormalization of the massless Thirring model is discussed. We demonstrate that the infrared divergences of Klaiber's correlation functions can be transferred into ultra-violet divergences by renormalization of the wave function of fermionic fields. This makes Klaiber's correlation functions non-singular in the infrared limit. We show that the requirement of non-perturbative renormalizability of the massless Thirring model fixes a free parameter of the path-integral approach. In turn, the operator formalism is inconsistent with non-perturbative renormalizability of the massless Thirring model. We carry out a non-perturbative renormalization of the sine-Gordon model and show that it is not an asymptotically free theory as well as the massless Thirring model. We calculate the fermion condensate by using the Fourier transform of the two-point Green function of massless Thirring fermion fields quantized in the chiral symmetric phase.

연구 동기 및 목표

• 클라이버의 질량이 없는 티르링 모형 해법에서, 복합 페르미온 연산자에 대한 표준 페어티 변환 성질과의 모순을 해결하는 것.
• 클라이버의 상관 함수에서 발생하는 적외색 발산 문제를 다루고, 비초순환적 파동함수 재규합을 통해 이를 제거하는 것.
• 카이랄 대칭 상에서 질량이 없는 티르링 모형에 대해 일관된 경로적분 형식을 수립하고, 비초순환적 재규합 가능성으로 인해 자유 매개변수를 고정하는 것.
• 이중적인 사인-고르돈 모형이 점점 더 자유롭지 않으며, 완전히 비초순환적으로 재규합 가능하다는 것을 보여주는 것. 재규합 이후 어떤 발산도 남지 않는다.
• 질량이 없는 티르링 모형의 카이랄 대칭 상에서 두점 그린 함수의 푸리에 변환을 통해 페르미온 응집을 계산하는 것.

제안 방법

• 클라이버의 연산자 형식과 경로적분 접근법을 사용하여, 카이랄 대칭이 있는 질량이 없는 티르링 모형에서의 상관 함수를 분석한다.
• 클라이버의 복합 페르미온 연산자가 표준적인 페어티 변환 규칙을 위반함을 밝히고, 표준적인 페어티 성질을 갖는 새로운 연산자를 구성한다.
• 비초순환적 파동함수 재규합을 적용하여 클라이버의 적외색 발산을 고에너지 영역으로 이동시키고, 상관 함수가 적외색 근처에서 유한하게 유지되도록 한다.
• 유한한 척도 $M$ 과 재규합된 결합 상수 $ar{eta}$ 를 사용한 경로적분 접근법으로 사인-고르돈 모형의 생성 함수를 유도하며, 고에너지 자르축에 대한 의존성을 제거한다.
• 차원 또는 해석적 정규화를 적용하여 인과적 그린 함수 $ riangle(0;M) = 0$ 으로 설정함으로써 상관 함수의 발산을 제거한다.
• 사인-고르돈 모형과 티르링 모형 간의 관계를 이용하여, 사인-고르돈 모형이 비점점 자유도를 가지지 않으며, 완전히 비초순환적으로 재규합 가능하다는 것을 추론한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 왜 클라이버의 복합 페르미온 연산자가 질량이 없는 티르링 모형에서 카이랄 대칭과 표준적인 페어티 변환 규칙을 위반하는가?
• RQ2 클라이버의 상관 함수에서 발생하는 적외색 발산은 비초순환적 재규합을 통해 제거될 수 있는가? 만약 가능하면, 그 방법은 무엇인가?
• RQ3 카이랄 자코비안의 모호성은 질량이 없는 티르링 모형에서 상관 함수의 동적 차원을 결정하는 데 어떤 역할을 하는가?
• RQ4 티르링 모형과 이중적인 사인-고르돈 모형은 비초순환적으로 재규합 가능한가? 그리고 점점 더 자유로운가?
• RQ5 질량이 없는 티르링 모형의 카이랄 대칭 상에서 두점 그린 함수의 푸리에 변환을 통해 페르미온 응집은 어떻게 유도되는가?

주요 결과

• 클라이버의 한 매개변수 가중족 해법은 카이랄 대칭과 일치하지 않으며, 카이랄 대칭 상에서는 잘 정의되어 있지 않다.
• 상관 함수의 동적 차원은 카이랄 자코비안을 평가할 때 발생하는 모호성에서 기인한 임의의 매개변수에 의존한다.
• 비초순환적 파동함수 재규합이 클라이버의 적외색 발산을 고에너지 영역으로 성공적으로 이동시켜, 상관 함수가 적외색 근처에서 유한하게 유지됨을 보였다.
• 비초순환적 재규합 가능성의 요구 조건이 경로적분 접근법의 자유 매개변수를 고정하지만, 이는 연산자 형식과는 상충된다.
• 사인-고르돈 모형은 완전히 비초순환적으로 재규합 가능하며, 재규합 이후 생성 함수가 고에너지 자르축에 의존하지 않으며, 정규화 이후 어떤 발산도 남지 않는다.
• 사인-고르돈 모형은 점점 더 자유롭지 않다. 그 이유는 결합 상수 $ar{eta}$ 가 재규합 불가능하기 때문에 게른-만-로우 $eta$-함수가 0이 되기 때문이다. 이는 초순환적 예측과 정반대이다.