[논문 리뷰] On the space of morphisms between étale groupoids

André Haefliger|ArXiv.org|2007. 07. 31.

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology참고 문헌 7인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 적절한 조건 하에서 두 에탈레 군oids 간의 점을 가진 사상들의 공간에 바나흐 다양체 구조를 부여하며, 이 공간이 다른 에탈레 군oids의 궤도 공간으로 해석될 수 있음을 보여준다. 주요 기여는 사상 공간을 궤도 공간으로 기하학적으로 실현함으로써, 이전의 오비폴드와 폴리케이션 이론에 대한 결과를 일반화한 것이다.

ABSTRACT

Given two étale groupoids $\Cal G$ and $\Cal G'$, we consider the set of pointed morphisms from $\Cal G$ to $\Cal G'$. Under suitable hypothesis we introduce on this set a structure of Banach manifold which can be considered as the space of objects of an étale groupoid whose space of orbits is the space of morphisms from $\Cal G$ to $\Cal G'$.

연구 동기 및 목표

• 에탈레 군oids 간의 사상 공간에 대한 기하학적 및 위상수학적 프레임워크를 제공하기 위해.
• 원환면에서의 사상에 대한 이전 결과를 일반적인 에탈레 군oids로 일반화하기 위해.
• 점을 가진 사상들의 집합에 바나흐 다양체 구조를 수립하여 사상 공간의 군oids 이론적 해석을 가능하게 하기 위해.
• 코호몰로지 족과 확장이 사상과 자기동치를 분류하는 데 수행하는 역할을 명확히 하기 위해.
• 특히 확장과 차단류에 관해 이전 문헌의 결과를 수정하고 확장하기 위해.

제안 방법

• 국소 단면과 임계점들을 이용해 에탈레 군oids 간의 점을 가진 사상들의 집합에 위상을 도입한다.
• 국소 적으로 평탄한 구조와 연속적 업그레이드를 활용하여 점을 가진 사상들의 공간에 바나흐 다양체 구조를 구성한다.
• 군oids의 임계점의 구조를 이용해 사상들을 국소 데이터와 관련짓고 자연 변환을 정의한다.
• $(\Cal{G}', \Cal{G})$-_bundle와 족을 이용해 사상을 등변 구조를 통해 매개화한다.
• 열린 덮개 위에서 군oids의 국소화를 이용해 전반적인 문제를 국소 문제로 환원한다.
• 특히 중심에 값을 가진 $\check{H}^2$ 및 $\check{H}^3$ 이론을 활용한 층 이론적 및 코호몰로지 도구를 사용하여 확장과 장애를 분류한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 두 에탈레 군oids 간의 사상 공간이 바나흐 다양체 구조를 지닐 수 있는 조건은 무엇인가?
• RQ2 사상 공간은 어떤 다른 에탈레 군oids의 궤도 공간으로 어떻게 실현될 수 있는가?
• RQ3 에탈레 군oids 간의 사상을 매개화하는 데 족과 주요 배럴이 수행하는 역할은 무엇인가?
• RQ4 체차 코호몰로지의 장애류는 어떻게 에탈레 군oids의 이산군에 의한 확장을 분류하는가?
• RQ5 행동 군oids $\Gamma \ltimes G$ 의 점을 가진 자기동치의 군의 구조는 어떠한가?

주요 결과

• 에탈레 군oids $\Cal{G}$ 와 $\Cal{G}'$ 간의 점을 가진 사상들의 집합은 적절한 가정 하에 바나흐 다양체 구조를 지닌다.
• 이 바나흐 다양체는 $\Cal{G}$ 와 $\Cal{G}'$ 사이의 사상 공간이 궤도 공간이 되는 에탈레 군oids의 대상 공간으로 해석될 수 있다.
• $\Gamma \ltimes G$ 의 점을 가진 자기동치의 군은 $G \rtimes \mathrm{Aut}(G, \Gamma)$ 와 동형이며, 여기서 $\mathrm{Aut}(G, \Gamma)$ 는 $\Gamma \subset G$ 의 산술적 성질에 따라 달라진다.
• $G = \mathbb{R}$ 이고 $\Gamma$ 가 무리수 비율을 가진 두 원소로 생성될 경우, 비율이 초월수이면 $\mathrm{Aut}(G, \Gamma)$ 는 $\{ \pm 1 \}$ 이고, 그렇지 않으면 $\mathbb{Q}(\alpha)$ 의 단위군이 된다.
• 파라콤팩트 다양체 $W$ 에 대해 $\Gamma \ltimes G$ 로의 확장은 $W$ 에서 분류 공간 $B_{(G,\Gamma)}$ 로의 호모토피류에 의해 분류되며, 이는 교차 모듈 $\mu: \Gamma \to G \rtimes \mathrm{Aut}(G, \Gamma)$ 와 관련된 2군의 레이저의 기하적 실현이다.
• 에탈레 군oids $\Cal{G}$ 에 대해 이산군 $N$ 으로의 위상적으로 분리된 확장이 존재하는 것은 $\check{H}^3(\Cal{G}, \Cal{C})$ 에서의 특정 장애가 사라질 때이고, 동치류의 집합은 $\check{H}^2(\Cal{G}, \Cal{C})$ 와 일대일 대응된다.