[논문 리뷰] On the space of Type-2 interval with limit, continuity and differentiability of Type-2 interval-valued functions

Sadikur Rahman, Ali Akbar Shaikh외 1명|arXiv (Cornell University)|2019. 07. 01.

Fuzzy Systems and Optimization참고 문헌 2인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 양 끝점이 모두 구간인 타입-2 간격 함수를 도입하고, 확장된 무어 거리(extended Moore distance)를 사용하여 완비 거리공간을 구축한다. 이러한 함수에 대해 극한, 연속성, 그리고 gH-미분 가능성을 정의하며, 공간이 완비임을 증명하고 타입-2 설정에서 일반화 히쿠하라 미분을 위한 기초 성질을 도출한다.

ABSTRACT

This paper deals with the new concept of interval whose both the bounds themselves are also intervals. We name this new type of interval as Type-2 interval. Here we have introduced Type-2 interval-valued function and its properties. To serve this purpose, we have defined a distance on the set of all Type-2 intervals, named as extended Moore distance for Type-2 intervals which is a metric on the set of all Type-2 intervals. Then we have shown that the space of Type-2 interval is a complete metric space with respect to extended Moore distance. Then we have introduced the concept of limit-continuity for Type-2 interval-valued function of single variable and also, we have derived some elementary properties of this concept. Subsequently, we have presented the idea of generalised Hukuhara difference on the set of Type-2 intervals. Finally, using this difference, we have defined gH-differentiability of Type-2 interval-valued function and discussed some of its properties.

연구 동기 및 목표

• 양 끝점이 모두 간격인 새로운 종류의 간격—타입-2 간격—을 형식화하여 고차원 불확실성의 모델링을 가능하게 한다.
• 타입-2 간격의 집합에 대해 거리공간을 정의하며, 이를 확장된 무어 거리(extended Moore distance)라 명명하여 위상적 및 해석적 연산을 지원한다.
• 확장된 무어 거리 하에서 타입-2 간격의 공간이 완비 거리공간임을 확립한다.
• 일변수 타입-2 간격 함수에 대해 극한과 연속성을 정의한다.
• 타입-2 간격 함수에 대한 일반화 히쿠하라 미분 가능성을 정의하고 그 성질을 탐색한다.

제안 방법

• 확장된 무어 거리는 타입-2 간격 전체의 집합에 대한 거리공간으로 정의되며, 공간이 완비임을 보장한다.
• 논문은 타입-2 간격의 공간을 구성하고, 확장된 무어 거리 하에서 그 공간이 완비임을 증명한다.
• 타입-2 간격 함수의 극한과 연속성은 실수 함수와 유사하게 정의되지만, 간격 함수의 경계에 맞게 조정된다.
• 도함수 정의를 지원하기 위해 타입-2 간격 집합에 일반화 히쿠하라 차분을 도입한다.
• 일반화 히쿠하라 차분을 사용하여 gH-미분 가능성을 정의하며, 고전적 미분 가능성을 타입-2 간격 함수로 확장한다.
• gH-미분 가능성을 위한 기본 성질들을 유도하며, 특정 조건 하에서 선형성과 연쇄법칙의 유사성을 포함한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 양 끝점이 모두 간격인 타입-2 간격에 대해 완비 거리공간을 구성할 수 있는가?
• RQ2 극한과 연속성 개념을 타입-2 간격 함수에 의미 있게 어떻게 확장할 수 있는가?
• RQ3 타입-2 간격에서 미분 가능성을 가능하게 하기 위해 히쿠하라 차분의 적절한 일반화는 무엇인가?
• RQ4 gH-미분 가능성을 어떻게 정의할 수 있으며, 타입-2 간격 함수의 맥락에서 어떤 성질을 만족하는가?
• RQ5 확장된 무어 거리는 타입-2 간격 공간에서 위상적 및 해석적 일관성을 확보하는 데 어떤 역할을 하는가?

주요 결과

• 확장된 무어 거리로 무장한 타입-2 간격의 공간은 완비 거리공간을 이룬다.
• 확장된 무어 거리는 거리공간의 모든 공리를 만족하므로 수렴성과 연속성의 엄밀한 분석이 가능하다.
• 타입-2 간격 함수의 극한과 연속성은 잘 정의되어 있으며, 고전적 실수 해석학 성질의 유사성을 만족한다.
• 일반화 히쿠하라 차분이 도입되었고, 타입-2 간격의 구조와 일관됨이 입증되었다.
• 타입-2 간격 함수에 대해 gH-미분 가능성이 정의되었으며, 선형성과 같은 기본 성질들이 도출되었다.
• 이 틀은 타입-2 간격 함수에 대한 적분과 불확실성 하에서의 최적화를 포함한 후속 미분학 발전을 위한 기초를 제공한다.