[논문 리뷰] On The Spaces of Fibonacci Difference Null and Convergent Sequences

Metin Başarır, Feyzı Başar외 1명|arXiv (Cornell University)|2013. 08. 31.

Approximation Theory and Sequence Spaces참고 문헌 16인용 수 9

한 줄 요약

이 논문은 피보나치 수열을 통해 정의된 피보나치 차분 행렬 $\widehat{F}$ 를 사용하여 순서 공간 $c_0(\widehat{F})$ 와 $c(\widehat{F})$ 를 도입하고 분석한다. 포함 관계를 확립하고, 슈하르트 기저를 구성하며, 알파-, 베타-, 감마-쌍대를 계산하고, 다양한 고전적 순서 공간으로의 행렬 변환을 특성화한다.

ABSTRACT

In the present paper, by using the band matrix F defined by the Fibonacci sequence, we introduce the sequence sequence spaces c_0(F) and c(F). Also, we give some inclusion relations and construct the bases of the spaces c_0(F) and c(F). Finally, we compute the alpha-, beta-, gamma-duals of these spaces and characterize the classes (c_0(F),X) and (c(F),X) for certain choice of the sequence space X.

연구 동기 및 목표

• 피보나치 차분 행렬 $\widehat{F}$ 를 사용하여 새로운 순서 공간 $c_0(\widehat{F})$ 와 $c(\widehat{F})$ 를 정의함으로써, 차분 순서 공간 이론을 확장한다.
• $c_0(\widehat{F})$, $c(\widehat{F})$, 그리고 고전적 순서 공간들 사이의 포함 관계를 확립한다.
• $c_0(\widehat{F})$ 와 $c(\widehat{F})$ 에 대한 슈하르트 기저를 구성한다.
• $c_0(\widehat{F})$ 와 $c(\widehat{F})$ 의 알파-, 베타-, 감마-쌍대를 계산한다.
• 다양한 순서 공간 $X$ 에 대해 행렬 변환의 집합 $(c_0(\widehat{F}), X)$ 와 $(c(\widehat{F}), X)$ 를 특성화한다.

제안 방법

• 피보나치 수열 $(f_n)$ 을 사용하여 피보나치 차분 행렬 $\widehat{F}$ 를 정의하며, 각 행은 연속된 세 항의 선형 조합에 대응한다.
• 행렬 도메인의 정의에 따라 $c_0(\widehat{F}) = \{x \in \omega : \widehat{F}x \in c_0\}$ 와 $c(\widehat{F}) = \{x \in \omega : \widehat{F}x \in c\}$ 이라는 순서 공간을 도입한다.
• 순서 공간 $\ell_p$, $c_0$, $c$, 기타 고전 공간들과의 수렴 및 성장 행동을 비교하여 $c_0(\widehat{F})$ 와 $c(\widehat{F})$ 사이의 포함 관계를 규명한다.
• 표준 기저 수열 $e^{(n)}$ 과 $\widehat{F}^{-1}$ 에 의한 변환을 사용하여 $c_0(\widehat{F})$ 와 $c(\widehat{F})$ 에 대한 슈하르트 기저를 구성한다.
• 표준 쌍대 이론과 행렬 변환 기준을 사용하여 $c_0(\widehat{F})$ 와 $c(\widehat{F})$ 의 알파-, 베타-, 감마-쌍대를 계산한다.
• 행렬 조건의 무한계 시스템을 통해 $X \in \{\ell_\infty, f, c, f_0, c_0, bs, fs, \ell_1\}$ 에 대해 $(c_0(\widehat{F}), X)$ 와 $(c(\widehat{F}), X)$ 의 행렬 집합을 극한과 균일 유계성 조건을 포함하여 특성화한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 피보나치 차분 행렬을 통한 정의된 순서 공간 $c_0(\widehat{F})$ 와 $c(\widehat{F})$ 의 구조적 성질은 무엇인가요?
• RQ2 $c_0(\widehat{F})$ 와 $c(\widehat{F})$ 는 $c_0$, $c$, $\ell_p$, $\ell_\infty$ 와 같은 고전적 순서 공간들과 포함 관계에서 어떻게 관련되어 있나요?
• RQ3 $c_0(\widehat{F})$ 와 $c(\widehat{F})$ 에 대한 슈하르트 기저는 무엇인가요?
• RQ4 $c_0(\widehat{F})$ 와 $c(\widehat{F})$ 의 알파-, 베타-, 감마-쌍대는 무엇인가요?
• RQ5 어떤 유한한 무한 행렬이 $c_0(\widehat{F})$ 나 $c(\widehat{F})$ 를 다른 고전적 순서 공간으로 또는 그 반대로 변환하며, 그러한 변환에 필요한 충분한 조건은 무엇인가요?

주요 결과

• $c_0(\widehat{F})$ 는 $c(\widehat{F})$ 의 진부분공간이며, 둘 다 행렬 도메인 구조에 의해 유도된 노름을 갖는 $BK$-공간이다.
• $c_0(\widehat{F})$ 의 슈하르트 기저는 $\{b^{(k)}\}_{k=1}^\infty$ 로 주어지며, 여기서 $b^{(k)} = \widehat{F}^{-1}e^{(k)}$ 이고, $c(\widehat{F})$ 에 대해서도 동일하게 적용된다.
• $c_0(\widehat{F})$ 의 알파-쌍대는 모든 수열 $y$ 에 대해 $\sum_{k=0}^\infty |y_k| < \infty$ 를 만족하는 것으로 구성되며, 베타- 및 감마-쌍대는 행렬 원소에 대한 특정 유계성 및 수렴 조건으로 특성화된다.
• $(c_0(\widehat{F}), \ell_1)$ 의 집합은 조건 (4.11), (4.12), (4.15)로 특성화되며, 행의 합의 균일 유계성과 열의 합의 수렴성을 포함한다.
• $(c(\widehat{F}), c)$ 의 집합은 조건 (4.11), (4.12), (4.13), (4.14), (4.16), (4.17)로 특성화되며, 변환 결과가 유한한 극한으로 수렴함을 보장한다.
• $(c(\widehat{F}), f_0)$ 의 집합은 조건 (4.11), (4.12), (4.16), (4.17)과 더불어 $\alpha_k = 0$ 이 모든 $k$ 에 대해 성립함을 추가로 요구하며, 이는 목표 공간의 영수열 조건을 반영한다.