[논문 리뷰] On the Spectral Equivalence of Koopman Operators through Delay Embedding

Yoshihiko Susuki, Kyoichi Sako외 1명|arXiv (Cornell University)|2017. 06. 03.

Model Reduction and Neural Networks참고 문헌 11인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 측도를 보존하는 동역계의 쿠퍼만 연산자와 그 지연 임베딩 재구성 간의 스펙트럼 동치를 수립하여, 원래 시스템의 고유값과 고유함수를 시간열 데이터에 Extended Dynamic Mode Decomposition (EDMD)를 적용함으로써 신뢰성 있게 추정할 수 있음을 증명한다. 핵심 결과는 재구성된 공간에서의 쿠퍼만 연산자가 원래 연산자와 유니터리 동치임을 보여주며, 이는 컴팩트하고 측도를 보존하는 시스템에서 지연 임베딩에 따른 스펙트럼 충실도를 보장한다.

ABSTRACT

We provide one theorem of spectral equivalence of Koopman operators of an original dynamical system and its reconstructed one through the delay-embedding technique. The theorem is proved for measure-preserving maps (e.g. dynamics on compact attractors) and provides a mathematical foundation of computing spectral properties of the Koopman operators by a combination of extended dynamic mode decomposition and delay-embedding.

연구 동기 및 목표

• 스칼라 시간열 데이터로부터 지연 임베딩 기법을 사용하여 쿠퍼만 연산자 스펙트럼을 추정하기 위한 수학적 기초를 확립하기.
• 측도를 보존하는 동역계에서 쿠퍼만 연산자의 스펙트럼 성질이 지연 임베딩에 의해 유지되는지 여부라는 근본적인 질문을 해결하기.
• 재구성된 상태 역학에 대해 Extended Dynamic Mode Decomposition (EDMD)를 적용하는 것이 원래 시스템의 쿠퍼만 스펙트럼을 근사하는 데 신뢰할 수 있는 방법임을 검증하기.
• 지연 임베딩을 통한 원래 및 재구성된 동역계의 쿠퍼만 연산자 간의 관계를 유니터리 동치를 통해 체계화하기.

제안 방법

• 단일 관측값과 그 시간 지연된 복사본을 사용하여 상태 공간의 지연 임베딩 재구성을 구축하기 위해 타케인스의 임베딩 정리를 활용한다.
• 원래 다양체 M에서 재구성된 공간 Φ(M) ⊂ ℝ^(2m+1)로의 호메오모르피즘 φ를 정의하여 원래 및 재구성된 사상 간의 가환 다이어그램을 가능하게 한다.
• 재구성된 공간에서의 관측량을 원래 공간으로 매핑하는 구성 연산자 C_φ: L₂(φ(M)) → L₂(M)를 정의하며, 이는 g ↦ g∘φ로 정의된다.
• 측도를 보존하는 조건 하에서 C_φ가 유니터리임을 증명하여 내적과 스펙트럼 구조의 등거리 보존을 보장한다.
• 원래 및 재구성된 공간의 쿠퍼만 연산자 간의 가환 관계 C_φ ∘ U_~T = U_T ∘ C_φ를 수립한다.
• 구성 연산자 C_φ를 통한 쿠퍼만 연산자의 유니터리 동치로부터 스펙트럼 동치가 유도됨을 보여준다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 측도를 보존하는 동역계의 쿠퍼만 연산자 스펙트럼은 지연 임베딩 재구성에 의해 여전히 동치인가?
• RQ2 지연 임베딩된 데이터에 Extended Dynamic Mode Decomposition (EDMD)를 적용하면 원래 시스템의 쿠퍼만 스펙트럼을 신뢰성 있게 추정할 수 있는가?
• RQ3 지연 임베딩을 통한 원래 및 재구성된 동역계의 쿠퍼만 연산자 간의 수학적 관계는 무엇인가?
• RQ4 재구성된 공간과 원래 공간 간의 구성 연산자 C_φ가 유니터리가 되는 조건은 무엇이며, 이는 스펙트럼 동치를 보장하는가?

주요 결과

• 측도를 보존하는 조건이 만족될 경우, 원래 시스템의 쿠퍼만 연산자 U_T와 재구성된 시스템의 U_~T는 스펙트럼적으로 동치이다.
• 구성 연산자 C_φ: g ↦ g∘φ는 유니터리이며, 이는 원래 및 재구성된 공간 간의 내적 구조와 스펙트럼 성질이 보존됨을 보장한다.
• 홈오모르피즘 φ와 T의 측도 보존 성질에 기반한 쿠퍼만 연산자의 유니터리 동치로부터 스펙트럼 동치가 보장된다.
• 이 결과는 지연 임베딩된 데이터에 EDMD를 적용하여 원래 쿠퍼만 연산자의 고유값과 고유함수를 추정하는 데의 타당성을 검증한다.
• 원래 쿠퍼만 연산자의 고유함수와 고유분포는 일반적으로 실생활에서 알려져 있지 않은 C_φ의 역함수를 통해 재구성할 수 있다.