[논문 리뷰] On the spectral radius and the energy of eccentricity matrix of a graph

Iswar Mahato, R. Gurusamy외 2명|arXiv (Cornell University)|2019. 09. 12.

Graph theory and applications참고 문헌 10인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 그래프의 이심성 행렬 ε(G)의 스펙트럼 성질을 조사하며, ε-스펙트럼 반지름과 ε-에너지 개념을 도입한다. 별 그래프는 ε(G)의 가역성에 의해 특성화되며, ε-스펙트럼 반지름에 대한 경계가 수립되고, 모든 n ≥ 5에 대해 완전 k-분할 그래프를 이용하여 비동일 스펙트럼이지만 ε-에너지가 동일한 그래프를 구성한다. 이는 ε-에너지가 각 분할에 최소 두 개 이상의 정점이 있을 경우 분할의 크기와는 무관하게 분할의 수에만 의존한다는 것을 증명한다.

ABSTRACT

The eccentricity matrix $\varepsilon(G)$ of a graph $G$ is obtained from the distance matrix by retaining the eccentricities (the largest distance) in each row and each column. In this paper, we give a characterization of the star graph, among the trees, in terms of invertibility of the associated eccentricity matrix. The largest eigenvalue of $\varepsilon(G)$ is called the $\varepsilon$-spectral radius, and the eccentricity energy (or the $\varepsilon$-energy) of $G$ is the sum of the absolute values of the eigenvalues of $\varepsilon(G)$. We establish some bounds for the $\varepsilon$-spectral radius and characterize the extreme graphs. Two graphs are said to be $\varepsilon$-equienergetic if they have the same $\varepsilon$-energy. For any $n \geq 5$, we construct a pair of $\varepsilon$-equienergetic graphs on $n$ vertices, which are not $\varepsilon$-cospectral.

연구 동기 및 목표

• 트리 중에서 그 이심성 행렬의 가역성에 의해 별 그래프를 특성화하기.
• ε-Wiener 지수와 ε-도수 순서를 이용하여 ε-스펙트럼 반지름에 대한 날것의 경계를 수립하기.
• 서로 다른 ε-스펙트럼을 가졌지만 ε-에너지가 동일한 ε-등에너지 스펙트럼 그래프를 조사하며, 스펙트럼 그래프 이론의 핵심 미해결 문제를 다루기.
• 작은 순서를 초월하여 완전 k-분할 그래프를 이용해 ε-등에너지 스펙트럼 그래프의 일반화된 구성 방법을 제시하기.

제안 방법

• 각 항목에 대해 e(u), e(v) 중 작은 값을 유지하고 나머지는 0으로 설정하여 이심성 행렬 ε(G)를 정의한다.
• 가장 큰 고유값(ε-스펙트럼 반지름)을 경계하기 위해 교차 정리와 균일 분할 기법을 적용한다.
• 정점 기반 분할로부터 유도된 몫 행렬을 사용하여, ε-Wiener 지수와 ε-도수를 바탕으로 ε-스펙트럼 반지름에 대한 하한을 유도한다.
• 기존의 완전 이분 및 다분할 그래프의 스펙트럼을 활용하여 ε-에너지를 명시적으로 계산한다.
• 서로 다른 분할 크기지만 동일한 k를 가진 완전 k-분할 그래프를 비교하여 ε-등에너지 스펙트럼 쌍을 구성한다.
• 서로 다른 분할 구성에서 동일한 ε-에너지가 존재하더라도 서로 다른 ε-스펙트럼을 가짐을 비교함으로써 비동일 스펙트럼임을 증명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 어떤 트리의 이심성 행렬이 가역적이며, 이러한 성질이 별 그래프를 어떻게 특성화하는가?
• RQ2 ε-Wiener 지수와 ε-도수 순서와 같은 그래프 불변량을 기반으로 ε-스펙트럼 반지름에 대한 가장 날것의 하한과 상한은 무엇인가?
• RQ3 서로 다른 ε-스펙트럼을 가졌지만 동일한 ε-에너지를 가진 그래프를 구성할 수 있으며, 이러한 현상이 어떤 그래프 가족에서 발생하는가?
• RQ4 각 분할에 최소 두 개 이상의 정점이 있을 경우, 완전 k-분할 그래프의 ε-에너지는 분할의 크기와는 무관하게 분할의 수에만 의존하는가?

주요 결과

• 별 그래프 K₁,n−1은 유일하게 이심성 행렬이 가역인 트리이다.
• ε-스펙트럼 반지름은 ρ(ε(G)) ≥ maxᵢ { (Wₑ − ε(i)) + √[(Wₑ − ε(i))² + (n−1)ε²(i)] } / (n−1) 으로 하한이 보장되며, 여기서 Wₑ는 ε-Wiener 지수이다.
• p, q ≥ 2 인 완전 이분 그래프 Kₚ,ₙ₋ₚ에 대해 ε-에너지는 Eₑ(Kₚ,ₙ₋ₚ) = 4(n−2)이며, p에 관계없이 일정하다.
• 각 nᵢ ≥ 2 인 완전 k-분할 그래프 Kₙ₁,ₙ₂,…,ₙₖ에 대해 ε-에너지는 Eₑ = 4(n−k)이며, n과 k에만 의존한다.
• 모든 n ≥ 6 에 대해 비-ε-스펙트럼이 동일한 ε-등에너지 스펙트럼 그래프가 존재한다. 예를 들어, p ≠ q 인 Kₚ,ₙ₋ₚ 와 K_q,ₙ₋q 는 그러한 예이다.
• 각 분할에 최소 두 개 이상의 정점이 있고 k가 일정할 동안, 완전 k-분할 그래프의 ε-에너지는 분할의 크기 변화에 대해 불변이다.