[논문 리뷰] On the Spectrum of Hecke Type Operators related to some Fractal Groups

Laurent Bartholdi, Rostislav Grigorchuk|arXiv (Cornell University)|1999. 10. 19.

Mathematical Analysis and Transform MethodsMathematics참고 문헌 16인용 수 19

한 줄 요약

이 논문은 중간 성장률을 갖는 프랙탈 군의 슈라이어 그래프를 사용하여, 라플라스 연산자의 스펙트럼이 칸토어 집합이 되는 연결된 4-정규 그래프의 첫 번째 알려진 예를 구성한다. 스펙트럼은 2차 다항식의 줄리아 집합의 변환으로 나타나며, 자기유사성과 연산자의 특수한 인수분해를 활용한 유한 근사 방법을 통해 스펙트럼 계산이 이루어진다.

ABSTRACT

We give the first example of a connected 4-regular graph whose Laplace operator's spectrum is a Cantor set, as well as several other computations of spectra following a common ``finite approximation'' method. These spectra are simple transforms of the Julia sets associated to some quadratic maps. The graphs involved are Schreier graphs of fractal groups of intermediate growth, and are also ``substitutional graphs''. We also formulate our results in terms of Hecke type operators related to some irreducible quasi-regular representations of fractal groups and in terms of the Markovian operator associated to noncommutative dynamical systems via which these fractal groups were originally defined. In the computations we performed, the self-similarity of the groups is reflected in the self-similarity of some operators; they are approximated by finite counterparts whose spectrum is computed by an ad hoc factorization process.

연구 동기 및 목표

• 프랙탈 군의 준정규 표현과 관련된 헤크 타입 연산자의 스펙트럼을 계산하기 위해.
• 중간 성장률을 갖는 군의 슈라이어 그래프에서 라플라스 연산자의 스펙트럼 성질을 조사하기 위해.
• 이러한 연산자의 스펙트럼과 2차 다항식의 줄리아 집합 사이의 연결 고리를 설정하기 위해.
• 유한 근사 기법을 통해 자기유사성이 스펙트럼 이론에서 수행하는 역할을 탐색하기 위해.
• 비단조화적이고 토르션 없는 군에서 스펙트럼 갭과 표현에 관한 열린 질문들을 다루기 위해.

제안 방법

• 스펙트럼 분석을 위한 기초 그래프로, 프랙탈 군(예: 그리고치크 군 및 그 변종)의 슈라이어 그래프를 사용한다.
• 유한 몫군의 스펙트럼을 계산하고 그 극한을 취하는 유한 근사 방법을 적용한다.
• 헤크 타입 연산자의 유한 대응체의 스펙트럼을 계산하기 위해 특수한 인수분해 과정을 활용한다.
• 군의 자기유사성 덕분에 근사 연산자에서도 자기유사성이 반영됨을 이용한다.
• 함수적 변환을 통해 스펙트럼을 2차 다항식의 줄리아 집합과 연결한다.
• 비가환 동역계와 관련된 마르코프 연산자를 정의하여 스펙트럼 문제를 설정한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 quasi-regular 표현 ρ_G/P의 스펙트럼이 전체 표현 ρ_G의 스펙트럼에 포함되는 조건은 무엇인가?
• RQ2 등식 spec(ρ_G/P) = spec(ρ_G)가 성립하는 조건은 무엇인가?
• RQ3 자유 부분군이 없는 유한 생성 비잔성 군을 스펙트럼 방법을 통해 구성할 수 있는가?
• RQ4 Schreier 그래프 S(G, P_n, S)가 확산자 또는 라마누잔 그래프의 시퀀스를 이루는 군 G < Aut(T)가 존재하는가?
• RQ5 토르션 없는 군 G < Aut(T) 중에서 라플라스 연산자의 스펙트럼이 완전히 분리되거나 갭을 포함하는 경우가 존재하는가?

주요 결과

• 논문은 연결된 4-정규 그래프 중에서 라플라스 연산자의 스펙트럼이 칸토어 집합이 되는 첫 번째 예를 제시한다.
• 군 ̃G에 대한 헤크 타입 연산자의 스펙트럼이 칸토어 집합임을 보이며, 이는 2차 다항식의 변환된 줄리아 집합으로 나타난다.
• 유한 근사 방법은 자기유사한 구조를 통한 유한 연산자의 리졸베이트 인수분해를 통해 스펙트럼을 성공적으로 계산한다.
• 군 ̃G의 경우, 그 카일리 그래프의 이분 구조 덕분에 라플라스 연산자 Δ의 스펙트럼이 완전히 복원된다.
• 군 Γ의 슈라이어 그래프에서 마르코프 연산자의 스펙트럼은 칸토어 집합과 가чёт한 집합의 합집합임을 보이며, [Mal95]의 결과와 유사하지만 다른 가정 하에 도출된다.
• 단위 표현과 라돈-니코다임 도함수를 통한 스펙트럼 링크를 통해 비가환 동역계와 헤크 타입 연산자의 스펙트럼 사이의 스펙트럼 연결 고리를 수립한다.