[논문 리뷰] On the spectrum of the Lax operator of the Benjamin-Ono equation on the torus

Patrick Gérard, Thomas Kappeler외 1명|arXiv (Cornell University)|2020. 06. 21.

Advanced Mathematical Physics Problems참고 문헌 8인용 수 19

한 줄 요약

이 논문은 토러스 위에서 복소수 잠재력 $u \in H^{-s}_{c,0}(\mathbb{T})$ 에 대해 $0 \leq s < 1/2$ 를 만족하는 Lax 연산자 $L_u = D - T_u$ 의 스펙트럼 성질을 조사한다. 고유값 $\lambda_n(u)$ 가 $u$ 에 대해 해석적임을 증명하고, 갭 길이 $\gamma_n(u) = \lambda_n(u) - \lambda_{n-1}(u) - 1$ 가 $\ell^{1,1-2s}(\mathbb{N}, \mathbb{C})$ 에 속하며, 맵 $\Gamma: u \mapsto (\gamma_n(u))_{n \geq 1}$ 가 해석적임을 보이며, 이로써 이 설정에서 순간 맵이 해석적 대상임을 확립한다.

ABSTRACT

We investigate the spectrum of the Lax operator $L_u$ of the Benjamin-Ono equation on the torus for complex valued potentials $u$ in the Sobolev space $H^{-s}(\\mathbb{T},\\mathbb{C})$, $0 \\le s &lt; 1/2$, with small imaginary part and prove analytic properties of the moment map, defined in terms of spectral data of $L_u$.

연구 동기 및 목표

• 복소수 잠재력 $u \in H^{-s}_{c,0}(\mathbb{T})$ 에 대해 $0 \leq s < 1/2$ 를 만족하는 Lax 연산자 $L_u = D - T_u$ 의 스펙트럼을 분석하는 것.
• 실수 $H^{-s}_{r,0}$ 의 이웃 영역에서 복소수 $H^{-s}_{c,0}$ 로의 확장된 순간 맵 $\Gamma(u) = (\gamma_n(u))_{n \geq 1}$ 를 정의하는 것.
• 복소수 소볼레프 공간 $H^{-s}_{c,0}$ 에서 고유값 맵 $\lambda_n(u)$ 와 순간 맵 $\Gamma(u)$ 의 해석성을 확립하는 것.
• 스펙트럼 자료를 통해 생성 함수 $\mathcal{H}_\lambda(u)$ 의 곱 표현을 복소수 잠재력으로 확장하는 것.

제안 방법

• Hardy 공간 $H_+$ 에서 $D = -i\partial_x$ 와 잠재력 $u$ 를 가진 토플리츠 연산자 $T_u$ 를 사용하여 Lax 연산자 $L_u = D - T_u$ 를 정의한다.
• Szegő 프로젝터 $\Pi$ 를 사용하여 $T_u f = \Pi(uf)$ 를 정의함으로써 $T_u$ 가 $H_+$ 에 안정적으로 작용하도록 보장한다.
• $u \in U^{-s} \subset H^{-s}_{c,0}$ 에 대해 $H^{1-s}_+$ 에서 $L_u$ 가 컴act한 해석을 가지며, 이는 간섭성 있는 단순 고유값 $\lambda_n(u)$ 를 유도함을 의미한다.
• 점점 가까워지는 행동 $|\lambda_n(u) - n| \to 0$ 과 $|\lambda_{n+1}(u) - \lambda_n(u)| > 1/2$, $|\Im \lambda_n(u)| < 1/4$ 의 경계를 증명한다.
• 갭 길이 $\gamma_n(u) = \lambda_n(u) - \lambda_{n-1}(u) - 1$ 를 정의하고, $\Gamma(u) = (\gamma_n(u))_{n \geq 1} \in \ell^{1,1-2s}(\mathbb{N}, \mathbb{C})$ 를 증명한다.
• 일반적으로 해석적 맵의 개념을 사용하여 $\lambda_n(u)$ 와 $\Gamma(u)$ 가 복소수 영역 $U^{-s}$ 에서 해석적임을 증명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 복소수 잠재력 $u \in H^{-s}_{c,0}$ 에 대해 $0 \leq s < 1/2$ 를 만족할 때 Lax 연산자 $L_u$ 의 스펙트럼은 어떻게 행동하는가?
• RQ2 잠재력에 대해 갭 길이를 할당하는 맵 $\Gamma(u) = (\gamma_n(u))_{n \geq 1}$ 는 실수 $H^{-s}_{r,0}$ 의 이웃 영역에서 해석적인가?
• RQ3 스펙트럼 자료를 통해 생성 함수 $\mathcal{H}_\lambda(u)$ 의 곱 표현을 복소수 잠재력으로 확장할 수 있는가?
• RQ4 고유값 $\lambda_n(u)$ 는 복소수 소볼레프 공간 $H^{-s}_{c,0}$ 에서 $u$ 의 함수로서 어떤 정(regularity)을 가지는가?
• RQ5 Lax 연산자 $L_u$ 의 스펙트럼 성질은 토러스 상의 벤자민-오노 방정식의 통합성 구조와 어떻게 관련이 있는가?

주요 결과

• 모든 $u \in U^{-s}$ 에 대해 Lax 연산자 $L_u$ 는 컴팩트한 해석을 가지며, $\lim_{n \to \infty} |\lambda_n(u) - n| = 0$ 이 되는 단순 고유값 $\lambda_n(u)$ 로 이루어진 이산 스펙트럼을 가진다.
• 고유값은 모든 $n \geq 0$ 에 대해 $|\lambda_{n+1}(u) - \lambda_n(u)| > 1/2$ 과 $|\Im \lambda_n(u)| < 1/4$ 를 만족한다.
• 각 $n \geq 0$ 에 대해 고유값 맵 $\lambda_n: U^{-s} \to \mathbb{C}$ 는 해석적이다.
• 갭 길이 맵 $\Gamma(u) = (\gamma_n(u))_{n \geq 1}$ 는 $\gamma_n(u) = \lambda_n(u) - \lambda_{n-1}(u) - 1$ 이며, $\ell^{1,1-2s}(\mathbb{N}, \mathbb{C})$ 에 값을 가진다.
• $\Gamma: U^{-s} \to \ell^{1,1-2s}(\mathbb{N}, \mathbb{C})$ 는 해석적이며, 이는 순간 맵을 복소수 잠재력으로 확장하는 것이다.
• 생성 함수 $\mathcal{H}_\lambda(u) = \langle (L_u - \lambda)^{-1}1 | 1 \rangle$ 는 $u \in U^{-s}$ 에서 곱 표현을 가지며, 실수 잠재력에 대한 결과를 확장한다.