[논문 리뷰] On the spreading of quantum walks starting from local and delocalized states

Alexandre C. Orthey, Edgard P. M. Amorim|arXiv (Cornell University)|2017. 06. 20.

Quantum Computing Algorithms and Architecture인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 균형 잡힌 양자 동전을 사용하여 국소, 가우시안, 균일한 초기 위치 상태에서 시작하는 일차원 이산 시간 양자 산책의 장기 분산에 대한 해석적 폐형 표현을 유도한다. 국소 초기 상태의 경우 평균 분산은 양자 동전에 영향을 받지 않지만, 가우시안 및 균일한 상태의 경우 분산은 동전의 위상 매개변수(특히 θ+φ)와 초기 분산에 강하게 의존하며, 푸리에 산책(θ+φ=π)과 큰 초기 분산에서는 비산산화 행동이 관찰된다.

ABSTRACT

We investigate the ballistic spreading behavior of the one-dimensional discrete time quantum walks whose time evolution is driven by any balanced quantum coin. We obtain closed-form expressions for the long-time variance of position of quantum walks starting from any initial qubit (spin-$1/2$ particle) and position states following a delta-like (local), Gaussian and uniform probability distributions. By averaging over all spin states, we find out that the average variance of a quantum walk starting from a local state is independent of the quantum coin, while from Gaussian and uniform states it depends on the sum of relative phases between spin states given by the quantum coin, being non-dispersive for a Fourier walk and large initial dispersion. We also perform numerical simulations of the average probability distribution and variance along the time to compare them with our analytical results.

연구 동기 및 목표

• 초기 상태의 국소화 정도가 양자 산책의 확산 역학에 어떻게 영향을 미치는지 이해하기 위해.
• 다양한 초기 상태(국소, 가우시안, 균일)에서의 장기 위치 분산에 대한 폐형 표현을 유도하기 위해.
• 확산이 양자 동전 매개변수(θ, φ)와 초기 상태 분산에 어떻게 의존하는지 분석하기 위해.
• 해석적 결과를 확률 분포 및 분산 진화의 수치 시뮬레이션과 비교하기 위해.
• 특히 푸리에 산책에서 비산산화 행동을 보이는 조건을 규명하기 위해.

제안 방법

• 양자 동전과 조건부 이동을 조합한 유니터리 시간 진화 연산자를 사용한 브룬 유형의 양자 산책 역학에 기반한 체계.
• 델타, 가우시안, 균일한 확률 분포를 가진 초기 상태에 대해 운동량 공간에서 장기 위치 분산의 해석적 유도.
• 임의의 초기 큐비트 상태를 각도 α와 β를 통해 매개변수화하기 위한 블로흐 구 표현의 사용.
• 특정 큐비트 준비 방식에 영향을 받지 않는 일반적 특성을 추출하기 위해 초기 스핀 상태에 대한 평균화.
• 해석적 분산 표현을 검증하기 위해 1000단계에 걸친 양자 산책 진화의 수치 시뮬레이션.
• 모의 분산 데이터를 Ct²에 적합하여 다양한 초기 상태와 동전 매개변수에 대해 산산화 계수 C를 추출하고 비교.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 초기 위치 상태의 국소화 정도(국소 대비 가우시안 대비 균일)가 양자 산책의 장기 분산에 어떻게 영향을 미치는가?
• RQ2 다양한 초기 상태에서 ⟨σ²⟩ = Ct²의 확산 계수 C가 양자 동전의 위상 매개변수 θ와 φ에 어떻게 의존하는가?
• RQ3 큰 초기 분산(σ₀ ≫ 1)을 가진 가우시안 초기 상태의 경우, 푸리에 동전(θ+φ=π)에서 분산이 0에 수렴하는 이유는 무엇인가?
• RQ4 모의 실험에서 관찰된 것처럼, 국소 초기 상태에서 시작하는 양자 산책의 평균 분산은 양자 동전에 독립적인가?
• RQ5 임의의 초기 큐비트 상태와 세 가지 유형의 초기 위치 분포에 대해 분산에 대한 해석적 표현을 유도할 수 있는가?

주요 결과

• 국소 초기 상태에서 시작하는 양자 산책의 평균 분산은 양자 동전에 영향을 받지 않으며, 모든 균형 잡힌 동전에서 일정하게 유지된다.
• 가우시안 초기 상태의 경우, 장기 확산 계수 C는 상대 위상 합(θ+φ)과 초기 분산 σ₀에 의존하며, σ₀ ≫ 1 이면서 θ+φ = π일 경우 C ≈ 0이 된다.
• 푸리에 산책(θ+φ = π)은 큰 초기 분산에서 비산산화 행동을 보이며, 이는 해석적 표현과 수치 시뮬레이션 양쪽에서 확인된다.
• 평균 확률 분포와 분산의 수치 시뮬레이션 결과는 모든 초기 상태 유형에서 해석적 예측과 뛰어난 일치를 보였다.
• σ₀ = 10인 가우시안 상태의 경우, θ+φ = π일 때 산산화 계수 C는 매우 0에 가까워지며, 이는 최소한의 확산을 의미하며 해석 모델과 일치한다.
• 균일한 초기 상태의 경우도 산산화 계수 C는 θ+φ에 의존하며, 특정 동전 매개변수에서만 비영이 되며, 가우시안 상태와는 다릅니다.