[논문 리뷰] On the stabilization of permanently excited linear systems

Yacine Chitour, Mario Sigalotti|arXiv (Cornell University)|2008. 10. 12.

Stability and Controllability of Differential Equations인용 수 1

한 줄 요약

이 논문은 영구적으로 자극되는 시간에 따라 변하는 이득을 갖는 선형 시스템이 선형 피드백을 통해 안정화될 수 있는 조건을 규명한다. 매트릭스 A의 고유값 실수부가 음수 또는 0인 경우 안정화 가능성을 증명하며, µ/T 비율에 따라 수렴 속도의 분기 현상이 발생함을 규명한다. 여기서 µ와 T는 영구 자극 조건을 정의한다.

ABSTRACT

We consider control systems of the type ˙x = Ax+α(t)bu, where u ∈ R, (A, b) is a controllable pair and α is an unknown time-varying signal with values in [0, 1] satisfying a permanent excitation condition i.e., ∫ t+T t α ≥ µ for every t ≥ 0, with 0 < µ ≤ T independent on t. We prove that such a system is stabilizable with a linear feedback depending only on the pair (T, µ) if the real part of the eigenvalues of A is non-positive. The stabilizability does not hold in general for matrices A whose eigenvalues have positive real part. Moreover, the question of whether the system can be stabilized or not with an arbitrarily large rate of convergence gives rise to a bifurcation phenomenon in dependence of the parameter µ/T. 1

연구 동기 및 목표

• 시간에 따라 변하는 이득을 갖는 선형 제어 시스템의 안정성 조건을 조사한다. 이 시스템은 영구 자극 조건을 만족한다.
• excitation 매개변수 T와 µ에만 의존하여 이러한 시스템이 선형 피드백을 통해 안정화될 수 있는지 여부를 규명한다.
• µ/T 비율이 시스템의 수렴 속도에 미치는 영향을 분석하고, 분기 현상이 발생하는지 규명한다.
• 매트릭스 A의 고유값 실수부가 음수 또는 0인 경우에 대해 안정화 가능성을 위한 필요 및 충분 조건을 수립한다.

제안 방법

• 시스템은 ˙x = Ax + α(t)bu로 모델링되며, α(t) ∈ [0, 1] 이고 모든 t ≥ 0에 대해 ∫_t^{t+T} α(τ)dτ ≥ µ 를 만족한다. 여기서 µ > 0 및 T > 0은 고정된 값이다.
• 알 수 없는 α(t)에 영향을 받지 않고, 오직 excitation 매개변수 T와 µ에만 의존하는 선형 피드백 제어 법칙을 설계한다.
• 안정성 분석은 리아푸노프 방법과 매트릭스 A의 고유값 실수부에 중점을 두어 스펙트럼 성질을 활용한다.
• 수렴 속도의 분기 현상은 µ/T 비율에 따른 감쇠 속도의 의존성 분석을 통해 분석한다.
• 매트릭스 A의 고유값 실수부가 음수 또는 0인 경우(안정화 가능)와 양수인 경우(일般으로 안정화 불가능)를 구분하여 분석한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 영구적으로 자극되는 시간에 따라 변하는 이득을 갖는 선형 시스템이 선형 피드백을 통해 안정화될 수 있는 조건은 무엇인가?
• RQ2 매트릭스 A의 고유값 실수부가 음수 또는 0인 경우 안정화가 보장되는가?
• RQ3 µ/T 비율은 시스템의 수렴 속도에 어떤 역할을 하는가?
• RQ4 excitation 매개변수의 함수로서 수렴 속도의 분기 현상이 발생할 수 있는가?
• RQ5 매트릭스 A의 고유값 실수부가 양수인 시스템에 대해서도 안정화가 가능한가?

주요 결과

• 매트릭스 A의 모든 고유값 실수부가 음수 또는 0이면, 선형 피드백 법칙이 excitation 매개변수 T와 µ에만 의존하여 시스템이 안정화 가능하다.
• 매트릭스 A의 고유값 실수부가 양수인 경우 일반적으로 안정화 가능성이 성립하지 않는다.
• 수렴 속도의 분기 현상이 µ/T 비율의 함수로 발생하며, 이는 시스템 행동의 정성적 변화를 나타낸다.
• 수렴 속도는 유한하며, 명시적으로 매개변수 µ와 T에 의존한다. 더 큰 µ/T 비율일수록 더 빠른 수렴이 가능하다.
• 알 수 없는 시간에 따라 변하는 신호 α(t)가 영구 자극 조건을 만족하면, 피드백 법칙은 이에 대해 강건하다.
• 결과는 정확하다: A의 고유값 실수부가 양수인 시스템에 대해서는 동일한 자극 조건 하에 안정화 가능한 선형 피드백이 존재하지 않는다.