[논문 리뷰] On the stationary distribution of the block counting process for population models with mutation and selection

Fernando Cordero, Martin Möhle|arXiv (Cornell University)|2018. 05. 11.

Stochastic processes and statistical mechanics참고 문헌 64인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 돌연변이와 선택이 있는 인구 모델에서 블록 수세기 과정의 정적 분포를 조사하며, 모란 및 Λ-라이프만-피셔 모델에 초점을 맞춘다. 적분미분방정식을 통해 정적 분포의 명시적 해를 유도하고, 킹먼 및 별형태 공진화자에 대해 이를 해결하여 분포가 기하분포가 되는 조건을 규명한다. 특히 볼타우젠-슈니트만 공진화자에 대해 기하분포가 되는 경우를 다룬다.

ABSTRACT

We consider two population models subject to the evolutionary forces of selection and mutation, the Moran model and the $\Lambda$-Wright-Fisher model. In such models the block counting process traces back the number of potential ancestors of a sample of the population at present. Under some conditions the block counting process is positive recurrent and its stationary distribution is described via a linear system of equations. In this work, we first characterise the measures $\Lambda$ leading to a geometric stationary distribution, the Bolthausen-Sznitman model being the most prominent example having this feature. Next, we solve the linear system of equations corresponding to the Moran model. For the $\Lambda$-Wright-Fisher model we show that the probability generating function associated to the stationary distribution of the block counting process satisfies an integro differential equation. We solve the latter for the Kingman model and the star-shaped model.

연구 동기 및 목표

• 블록 수세기 과정에서 정적 분포가 기하분포가 되는 데 기여하는 Λ 측도의 클래스를 규명하는 것.
• 모란 모델에서 정적 분포를 지배하는 선형 방정식계를 해결하는 것.
• Λ-라이프만-피셔 모델에서 확률 생성함수에 대한 적분미분방정식을 유도하고 이를 해결하는 것.
• 킹먼 및 별형태 공진화자 모델에서 정적 분포를 명시적으로 계산하는 것.
• 정적 분포가 기하분포가 되는 조건을 규명하며, 볼타우젠-슈니트만 공진화자를 핵심 예시로 삼는 것.

제안 방법

• Λ-라이프만-피셔 모델에서 블록 수세기 과정과 유형 빈도 과정 사이의 모멘트 이중성(duaity)을 사용한다.
• 시엠부르드 이중성을 적용하여 블록 수세기 과정을 고정선 과정과 연결한다.
• 정적 분포의 확률 생성함수에 대한 적분미분방정식을 도출한다.
• 특정 Λ 측도(예: β(3,1) 모델)에 대해 선형 상미분방정식으로 변환하여 방정식을 해결한다.
• 해석적 표현을 위해 초함수 및 애플 함수와 같은 특수함수를 활용한다.
• 스틸리지스 변환과 적분 항등식을 사용하여 경계 조건과 명시적 공식을 유도한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 어떤 Λ 측도에 대해 블록 수세기 과정의 정적 분포가 기하분포가 되는가?
• RQ2 돌연변이와 선택이 있는 모란 모델에서 정적 분포의 명시적 형태는 무엇인가?
• RQ3 Λ-라이프만-피셔 모델에서 정적 분포의 확률 생성함수는 어떻게 특징지을 수 있는가?
• RQ4 킹먼 및 별형태 공진화자 경우에서 생성함수를 지배하는 적분미분방정식의 해는 무엇인가?
• RQ5 β(3,1)-모델에 대해 정적 분포를 명시적으로 계산할 수 있으며, 그 형태는 어떠한가?

주요 결과

• 논문은 볼타우젠-슈니트만 공진화자가 정적 분포가 기하분포가 되는 데 있어 뚜렷한 예시임을 규명한다.
• 모란 모델에서는 정적 분포를 지배하는 선형 방정식계가 명시적으로 해결된다.
• Λ-라이프만-피셔 모델에서 정적 분포의 확률 생성함수는 적분미분방정식을 만족한다.
• 킹먼 공진화자에 대해서는 적분미분방정식이 명시적으로 해결되어 생성함수에 대한 닫힌 표현식이 도출된다.
• β(3,1)-모델에 대해서는 경계 조건 gΛ(0) = 0 및 gΛ(1) = 1을 갖는 상미분방정식을 통해 정적 분포가 유도된다.
• 해는 초함수 및 애플 함수를 포함하며, 특정 Λ 측도 하에서 모델의 해석적 취급 가능성(해석적 취급 가능성)을 보여준다.