[논문 리뷰] On the streaming complexity of fundamental geometric problems

Arijit Bishnu, Arijit Ghosh외 2명|arXiv (Cornell University)|2018. 03. 19.

Complexity and Algorithms in Graphs참고 문헌 41인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 일패스 스트리밍 모델에서 기본 기하 문제에 대해 날카운 공간 복잡도 하한을 확립하고, 이를 충족하는 근사 알고리즘을 제시한다. Klee의 측도, 볼록체 근사, 이질성 문제를 분석하여, 무작위 스트리밍 알고리즘이 ε-덧셈 근사에 대해 Ω(1/ε) 공간을 필요로 함을 증명하고, 최적의 공간 사용을 달성하는 알고리즘을 제시하며, 정렬된 입력이 색 이질성 문제에 대해 정확한 O(1)-공간 계산을 가능하게 함을 보여준다.

ABSTRACT

In this paper, we focus on lower bounds and algorithms for some basic geometric problems in the one-pass (insertion only) streaming model. The problems considered are grouped into three categories: (i) Klee's measure (ii) Convex body approximation, geometric query, and (iii) Discrepancy Klee's measure is the problem of finding the area of the union of hyperrectangles. Under convex body approximation, we consider the problems of convex hull, convex body approximation, linear programming in fixed dimensions. The results for convex body approximation implies a property testing type result to find if a query point lies inside a convex polyhedron. Under discrepancy, we consider both the geometric and combinatorial discrepancy. For all the problems considered, we present (randomized) lower bounds on space. Most of our lower bounds are in terms of approximating the solution with respect to an error parameter $ε$. We provide approximation algorithms that closely match the lower bound on space for most of the problems.

연구 동기 및 목표

• 일패스 스트리밍 모델에서 기본 기하 문제에 대한 강력한 공간 복잡도 하한을 확립하기.
• Klee의 측도 및 볼록체 근사와 같은 문제들에 대해 유도된 하한과 일치하는 최적의 근사 알고리즘을 설계하기.
• 입력 순서가 스트리밍 복잡도에 미치는 영향, 특히 이질성 문제에 대해 조사하기.
• 스트리밍 복잡도와 성질 테스팅 간의 연결 고리를 탐색하기, 특히 볼록껍질 소속성에 대해.
• 입력이 좌표 기준으로 정렬되어 있을 경우 색 이질성의 정확한 계산이 상수 공간에서 가능해지는지 보여주기.

제안 방법

• 기하 문제에 대해 ϵ-덧셈 공간 하한을 유도하기 위해 무작위 통신 복잡도 기법을 사용한다.
• 하한을 증명하기 위해 기하 문제를 Index 및 Disjointness와 같은 통신 문제로 환원한다.
• 샘플링 및 스케치 기법을 사용하여 하한과 일치하는 공간 복잡도를 달성하는 일패스 스트리밍 알고리즘을 설계한다.
• 로그 시간의 패ass를 사용하여 ϵ-덧셈 알고리즘을 ϵ-곱셈 알고리즘으로 변환하는 다중패스 변환을 적용한다.
• 정렬된 스트림의 구조를 활용하여 빨간색과 파란색 점 수의 누적 차이를 추적함으로써 색 이질성 문제를 O(1) 공간에서 정확히 계산한다.
• 볼록체의 ε-근사 정의에 허스도르프 거리를 사용하고, 이를 기하 및 선형 프로그래밍 문제와 연결한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 d차원 공간에서 Klee의 측도를 ϵ-덧셈 근사로 계산하기 위해 일패스 스트리밍 알고리즘이 필요한 최소 공간은 얼마인가?
• RQ2 고정된 차원에서 볼록체 근사 및 선형 프로그래밍 문제는 정보 이론적 하한과 일치하는 공간 복잡도로 해결될 수 있는가?
• RQ3 입력 순서는 기하 이질성 문제의 스트리밍 복잡도에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ4 볼록껍질 소속성에 대한 성질 테스팅의 스트리밍 복잡도는 무엇이며, 볼록체 근사와 어떤 관련이 있는가?
• RQ5 스트림이 좌표 기준으로 정렬되어 있을 경우 색 이질성의 정확한 계산이 상수 공간에서 가능해지는가?

주요 결과

• 논문은 일패스 무작위 알고리즘이 Klee의 측도를 ϵ-덧셈 근사로 계산하기 위해 Ω(1/ε) 공간이 필요하다는 것을 증명한다.
• 볼록체 근사 및 관련 문제에 대해 논문은 유도된 Ω(1/ε) 하한과 일치하는 공간 복잡도를 달성하는 알고리즘을 제시하여 날카운 하한을 확립한다.
• 일반적인 스트림에서는 색 이질성 문제에 대해 Ω(n) 공간이 필요하지만, 입력이 좌표 기준으로 정렬되어 있을 경우 O(1) 공간에서 정확히 해결할 수 있다.
• O(log(1/O))회의 패스를 사용하여 ϵ-덧셈 일패스 알고리즘을 ϵ-곱셈 알고리즘으로 변환하는 다중패스 알고리즘을 구성한다. 여기서 O는 최적 해 값이다.
• 정렬된 스트림의 경우, 색 이질성 D_c(P)는 빨간색과 파란색 점 수의 누적 차이의 최대값과 최소값을 추적함으로써 오직 O(1) 공간만으로 정확히 계산할 수 있다.
• 논문은 색 이질성의 최적 해가 D_c(P) = max_p(R([0,p]) - B([0,p])) - min_q(R([0,q]) - B([0,q])) + 1 임을 확립하여 상수 공간 계산이 가능함을 보여준다.