[논문 리뷰] On the strong Markov property for stochastic differential equations driven by $G$-Brownian motion

Mingshang Hu, Xiaojun Ji외 1명|arXiv (Cornell University)|2017. 08. 07.

Stochastic processes and financial applications참고 문헌 18인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 보편적 연속성과 일致성 성질을 이용해 선택적 시간에서 조건부 $G$-기대를 구성함으로써, $G$-브라운 운동에 의해 구동되는 확률미분방정식(SDEs)의 강한 마코프 성질을 확립한다. 주요 결과는 정지 시간 $\tau$ 이후에도 과정 $(B_{\tau+t} - B_\tau)_{t\geq 0}$ 가 여전히 $G$-브라운 운동임을 보이며, 이 성질은 $G$-브라운 운동의 수준집합이 거의 확실히 고립점을 가지지 않음을 증명하는 데 사용된다.

ABSTRACT

In this paper we study the stochastic differential equations driven by $G$-Brownian motion ($G$-SDEs for short). We extend the notion of conditional $G$-expectation from deterministic time to the more general optional time situation. Then, via this conditional expectation, we develop the strong Markov property for $G$-SDEs. In particular, we obtain the strong Markov property for $G$-Brownian motion. Some applications including the reflection principle for $G$-Brownian motion are also provided.

연구 동기 및 목표

• 비결정적 시간에서의 조건부 $G$-기대를 선택적 시간으로 확장하여 비선형 기대 프레임워크 내에서 강한 마코프 성질의 연구를 가능하게 한다.
• 보렐 가측 함수에 대해 정규 조건부 $G$-기대 $\hat{\mathbb{E}}_{\tau+}[\cdot]$ 를 구성하며, 선형성 이외의 고전적 조건부 기대의 핵심 성질을 유지한다.
• 비선형 설정에서의 수렴 정리 부족을 극복하기 위해 코모고로프의 조밀성 기준을 활용하여 $G$-SDE의 강한 마코프 성질을 수립한다.
• $G$-브라운 운동에 대해 반사 원리가 성립하며, $\tau$ 이후 증분 $B_{\tau+t} - B_\tau$ 가 여전히 $G$-브라운 운동임을 증명한다.
• 강한 마코프 성질을 적용하여 수준집합 $\mathcal{L}_\omega(a) = \{t \geq 0 : B_t(\omega) = a\}$ 가 거의 확실히 고립점을 가지지 않음을 보인다.

제안 방법

• 보편적 연속성 추정(보조정리 3.3)과 새로운 일致성 성질(정리 3.9)을 이용해 비결정적 시간에서의 조건부 $G$-기대 $\hat{\mathbb{E}}_t[\cdot]$ 를 선택적 시간 $\tau$ 로 확장한다.
• 보편적인 보렐 함수 클래스에 대해 $\hat{\mathbb{E}}_{\tau+}[\cdot]$ 를 구성하며, $\mathcal{F}_{\tau+}$ 에 대해 가측성과 정규성을 확보한다.
• 표준 이산화 방법을 적응하여 $\hat{\mathbb{E}}_{\tau+}[\cdot]$ 의 성질을 활용해 $G$-SDE의 강한 마코프 성질을 증명한다.
• 비선형 기대 설정에서의 도미네이티드 수렴 정리 실패를 피하기 위해 코모고로프의 조밀성 기준을 활용한다.
• 강한 마코프 성질을 적용해 $G$-브라운 운동의 경로적 성질, 특히 영역 근처의 부호 변화와 무한한 진동을 분석한다.
• 반사 원리와 경로 분석을 활용해 수준집합 $\mathcal{L}_\omega(a)$ 가 무한히 확장되고 고립점이 없음을 보인다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 비결정적 시간에서의 조건부 $G$-기대는 $G$-기대 프레임워크 내에서 선택적 정지 시간으로 의미적으로 확장될 수 있는가?
• RQ2 강한 마코프 성질이 $G$-SDE에 대해 성립하는가? 즉, 선택적 $\tau$ 에 대해 $\hat{\mathbb{E}}_{\tau+}[\varphi(X_{\tau+t_1}^x, \dots, X_{\tau+t_m}^x)] = \hat{\mathbb{E}}[\varphi(X_{t_1}^y, \dots, X_{t_m}^y)]_{y=X_\tau^x}$ 가 참인가?
• RQ3 선택적 시간 $\tau$ 이후에도 과정 $(B_{\tau+t} - B_\tau)_{t \geq 0}$ 는 $G$-브라운 운동인가?
• RQ4 $G$-브라운 운동의 수준집합 $\mathcal{L}_\omega(a) = \{t \geq 0 : B_t(\omega) = a\}$ 가 거의 확실히 고립점을 가지는가?
• RQ5 강한 마코프 성질을 활용해 $G$-브라운 운동의 경로적 정규성 성질, 예를 들어 영점 근처에서의 무한한 부호 변화를 증명할 수 있는가?

주요 결과

• 보렐 함수의 광범위한 클래스에 대해 조건부 $G$-기대 $\hat{\mathbb{E}}_{\tau+}[\cdot]$ 가 구성되었으며, $\mathcal{F}_{\tau+}$ 에 대해 가측성과 고전적 조건부 기대의 핵심 성질을 유지하지만 선형성은 제외된다.
• 강한 마코프 성질이 $G$-SDE에 대해 성립한다: 임의의 선택적 시간 $\tau$ 에 대해 $\hat{\mathbb{E}}_{\tau+}[\varphi(X_{\tau+t_1}^x, \dots, X_{\tau+t_m}^x)] = \hat{\mathbb{E}}[\varphi(X_{t_1}^y, \dots, X_{t_m}^y)]_{y=X_\tau^x}$ 가 성립한다.
• 임의의 선택적 시간 $\tau$ 에 대해 증분 $(B_{\tau+t} - B_\tau)_{t \geq 0}$ 는 $G$-브라운 운동이다. 이는 $G$-프레임워크 내에서 반사 원리의 확인을 의미한다.
• 강한 마코프 성질과 부호 변화의 경로적 분석을 통해 $G$-브라운 운동의 수준집합 $\mathcal{L}_\omega(a)$ 가 거의 확실히 고립점을 가지지 않음을 보였다.
• 과정 $B$ 는 거의 확실히 임의의 구간 $[0, \varepsilon]$ 내에서 부호를 무한히 번갈아 변화한다. 이는 $\tau_1 = \inf\{t > 0 : B_t > 0\} = 0$ q.s. 를 의미하며, 음의 부분에 대해서도 마찬가지다.
• 수준집합 $\mathcal{L}_\omega(a)$ 는 거의 확실히 무한히 확장되며, 르베그 측도가 0이다. 고립점을 가지는 경로들의 집합은 용량이 0인 집합이다.