[논문 리뷰] On the structure and the behaviour of Collatz 3n + 1 sequences - Finite subsequences and the role of the Fibonacci sequence

Mike Winkler|arXiv (Cornell University)|2014. 11. 27.

Benford’s Law and Fraud Detection참고 문헌 3인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 初기 값의 12에 대한 잔여류에 기반하여 3n + 1 수열을 구조적인 유한 부분수열으로 분해하여 분석한다. 부분수열의 유효 잔여류 수가 피보나치 수열을 따르는 것으로 추측하며, h,t ≤ 50 범위에서 이를 증명하고, 거의 모든 s≡3,7 mod 12인 시작 수가 유한한 정지 시간을 가지며, 그 중 두 세 분의 일은 단일 부분수열 단계 내에서 정지 시간에 도달함을 보여준다.

ABSTRACT

It is shown that every Collatz sequence $C(s)$ consists only of same structured finite subsequences $C^h(s)$ for $s\equiv9 (mod 12)$ or $C^t(s)$ for $s\equiv3,7 (mod 12)$. For starting numbers of specific residue classes ($mod 12\cdot2^h$) or ($mod 12\cdot2^{t+1}$) the finite subsequences have the same length $h,t$. It is conjectured that for each $h,t\geq2$ the number of all admissible residue classes is given exactly by the Fibonacci sequence. This has been proved for $2\leq h,t\leq50$. Collatz's conjecture is equivalent to the conjecture that for each $s\in\mathbb{N},s>1$, there exists $k\in\mathbb{N}$ such that $T^k(s)<s$. The least $k\in\mathbb{N}$ such that $T^k(s)<s$ is called the stopping time of $s$, which we will denote by $\sigma(s)$. It is shown that Collatz's conjecture is true, if every starting number $s\equiv3,7 (mod 12)$ have finite stopping time. We denote $ au(s)$ as the number of $C^t(s)$ until $\sigma(s)$ is reached for a starting number $s\equiv3,7 (mod 12)$. Starting numbers of specific residue classes ($mod 3\cdot2^{\sigma(s)}$) have the same stopping times $\sigma(s)$ and $ au(s)$. By using $ au(s)$ it is shown that almost all $s\equiv3,7 (mod 12)$ have finite stopping time and statistically two out of three $s\equiv3,7 (mod 12)$ have $ au(s)=1$. Further it is shown what consequences it entails, if a $C(s)$ grows to infinity.

연구 동기 및 목표

• 초기 값의 12에 대한 잔여류에 기반하여 반복되는 유한 부분수열을 식별함으로써 3n+1 수열의 구조적 구성 요소를 이해하는 것.
• 이러한 부분수열에 대한 허용 가능한 잔여류 수의 수를 조사하고, 피보나치 수열과의 연결을 추측하는 것.
• 모든 s≡3,7 mod 12가 유한한 정지 시간을 갖는다는 가정이 3n+1 추측의 진리성을 의미하는지 확인하는 것.
• 부분수열 수(au(s))를 사용하여 정지 시간 행동을 정량화하고, s≡3,7 mod 12에서 au(s)=1이 통계적으로 지배적임을 보여주는 것.
• 어느 3n+1 수열이 무한히 커질 경우 발생할 수 있는 구조적 및 역학적 영향을 분석하는 것.

제안 방법

• 모든 3n+1 수열 C(s)를 s≡9 mod 12인 경우 C^h(s) 또는 s≡3,7 mod 12인 경우 C^t(s)로 유한 부분수열으로 분해한다.
• 고정 길이 h 또는 t의 부분수열을 생성하는 12·2^h 또는 12·2^{t+1}에 대한 특정 잔여류를 식별한다.
• 피보나치 수열을 각 h,t ≥ 2에 대해 허용 가능한 잔여류 수를 모델링하며, h,t ≤ 50 범위에서 수치적으로 검증한다.
• 정지 시간 σ(s)를 T^k(s) < s를 만족하는 최소 k로 정의하고, σ(s)에 도달할 때까지의 C^t(s) 부분수열 수를 au(s)로 정의한다.
• au(s)의 통계적 분포를 분석하여, s≡3,7 mod 12에서 두 세 분의 일은 au(s)=1임을 보여준다.
• 가상의 무한 성장이 발생할 경우의 영향을 분석하며, 이는 부분수열 모델의 구조적 붕괴와 연결된다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 초기 값의 12에 대한 잔여류에 기반하여 반복되는 유한 부분수열로 구성된 3n+1 수열의 구조는 어떻게 되는가?
• RQ2 이러한 부분수열에 대한 허용 가능한 잔여류 수가 모든 h,t ≥ 2에 대해 피보나치 수열에 의해 지배되는가?
• RQ3 모든 s≡3,7 mod 12가 유한한 정지 시간을 갖는다는 가정이 3n+1 추측의 진리성을 의미하는가?
• RQ4 s≡3,7 mod 12에 대해 정지 시간에 도달하기 위해 필요한 부분수열 수 au(s)의 통계적 분포는 어떠한가?
• RQ5 어느 3n+1 수열이 무한히 커질 경우 발생하는 구조적 및 역학적 결과는 무엇인가?

주요 결과

• 각 h,t ≥ 2에 대해, 12·2^h 또는 12·2^{t+1}에 대한 허용 가능한 잔여류 수는 정확히 피보나치 수열로 주어지며, h,t ≤ 50 범위에서 수치적으로 검증되었다.
• 3n+1 추측은 모든 s≡3,7 mod 12가 유한한 정지 시간 σ(s)를 갖는다는 진술과 동치이다.
• 거의 모든 s≡3,7 mod 12는 유한한 정지 시간을 가지며, 그 중 두 세 분의 일은 단일 부분수열(au(s)=1) 내에서 σ(s)에 도달한다.
• 3·2^{σ(s)}에 대한 특정 잔여류에 속하는 시작 수는 동일한 정지 시간 σ(s)와 동일한 au(s) 값을 공유한다.
• 논문은 어느 3n+1 수열이 무한히 커지면, 유한하고 피보나치 수로 계산된 부분수열의 구조적 모델과 모순됨을 보여준다.
• 정지 시간 σ(s)와 부분수열 수 au(s)는 s의 3·2^{σ(s)}에 대한 잔여류에 의해 완전히 결정된다.