[논문 리뷰] On the structure of a class of distributions obeying the principle of a single big jump

Hui Xu, Michael Scheutzow외 2명|arXiv (Cornell University)|2014. 06. 11.

Probability and Risk Models참고 문헌 13인용 수 7

한 줄 요약

이 논문은 단일 큰 점프 원칙을 따르는 무거운 尾 분포의 집합 $Σ$를 조사하며, 이러한 분포가 반드시 강한 무거운 尾를 가지며, 서브지수 분포와는 약한 꼬리 등가가 아니라는 것을 보여준다. $Σ \cap \mathcal{K}$가 서브지수 및 지배적으로 변화하는 꼬리 분포를 엄격히 포함하고 있음을 보여주는 명시적 예를 제시함으로써, 기존의 클래스를 넘어서 풍부하고 비자명한 구조가 존재함을 드러낸다.

ABSTRACT

In this paper, we present several heavy-tailed distributions belonging to the new class J of distributions obeying the principle of a single big jump introduced by Beck et al. [1]. We describe the structure of this class from different angles. First, we show that heavy-tailed distributions in the class J are automatically strongly heavy-tailed and thus have tails which are not too irregular. Second, we show that such distributions are not necessarily weakly tail equivalent to a subexponential distribution. We also show that the class of heavy-tailed distributions in J which are neither long-tailed nor dominatedly-varying-tailed is not only non-empty but even quite rich in the sense that it has a nonempty intersection with several other well-established classes. In addition, the integrated tail distribution of some particular of these distributions shows that the Pakes-Veraverbeke-Embrechts Theorem for the class J in [1] does not hold trivially.

연구 동기 및 목표

• 단일 큰 점프 원칙을 따르는 분포의 집합 $Σ$의 구조적 성질을 규명하는 것.
• 이 집합 $Σ$와 잘 알려진 중간 무거운 尾 분포 클래스인 서브지수 ($\mathcal{S}$), 지배적으로 변화하는 꼬리 ($\mathcal{D}$), 장수 꼬리 ($\mathcal{L}$) 사이의 관계를 명확히 하는 것.
• 집합 $Σ$에 속하는 분포가 서브지수 분포와 약한 꼬리 등가인지 조사하는 것.
• 장수 꼬리이거나 지배적으로 변화하는 꼬리가 아닌 무거운 尾 분포로 이루어진 $Σ$의 하위집합이 비어 있지 않고, 여러 잘 알려진 클래스와 교차함을 보여주는 것.
• 통합 꼬리 분포의 특정 예를 통해 파케스-베라베케-에브레히트 정리가 $Σ$에 대해 비자명하게 성립하는지 검토하는 것.

제안 방법

• i.i.d. 랜덤 변수들의 합이 큰 임계값을 초과할 조건 하에, 가장 큰 항목이 합을 지배할 확률이 임계값이 증가함에 따라 1에 수렴하는 조건을 통해 집합 $Σ$를 도입한다.
• 세 가지 표현 방식의 동치성을 활용: (1) 가장 큰 순서 통계량이 높은 확률로 지배함, (2) 두 번째로 큰 값이 유계임, (3) 두 번째로 큰 값이 증가하는 함수를 초과할 확률이 점점 사라짐.
• 모든 $\lambda > 0$에 대해 $\lim_{x\to\infty} e^{\lambda x} \overline{F}(x) = \infty$를 만족하는 강한 무거운 尾 분포의 개념을 도입하여 $Σ \cap \mathcal{K}$ 내의 계층적 구조를 확립한다.
• 이중 간격 $[2^n, 2^{n+1})$를 사용하여 꼬리가 조각별로 정의된 특정 예인 $F^I$를 구성하며, 꼬리의 감쇠율이 $2^{(3n-2-n^2)/2}$가 되도록 한다. 이를 통해 $F^I$가 $Σ$에 속한다는 것을 보여준다.
• 통합 꼬리 분포와 꼬리 행동을 포함한 적분 추정을 활용하여 단일 큰 점프 성질을 검증하고, 다양한 $x$ 범위에서의 경계 $B_1(x)$와 $B_2(x)$를 분석한다.
• 약한 꼬리 등가 $\overline{F} \thickapprox \overline{G}$를 활용하여, $\overline{F^I}(x-t)/\overline{F^I}(x)$의 渐近 행동을 바탕으로 $F^I$가 어떤 서브지수 분포와도 약한 꼬리 등가가 아니라는 것을 보여준다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 모든 $Σ$에 속하는 중간 무거운 尾 분포는 반드시 강한 무거운 尾를 가져야 하는가?
• RQ2 $Σ \cap \mathcal{K}$는 $\mathcal{S} \cup \mathcal{D}$보다 엄격히 큰가? 만약 그렇다면 얼마나 풍부한가?
• RQ3 $Σ$에 속하는 분포가 서브지수 분포와 약한 꼬리 등가가 될 수 있는가?
• RQ4 파케스-베라베케-에브레히트 정리가 $Σ$에 대해 비자명하게 성립하는가, 아니면 특정 예에서는 공허한가?
• RQ5 $F \in \u03a3$와 그 통합 꼬리 분포 $F^I$ 사이의 관계는 무엇인가? 특히 $Σ$에 속하는지 여부를 고려할 때.

주요 결과

• $Σ \cap \mathcal{K}$는 강한 무거운 尾 분포의 집합 ($\mathcal{DK}^c$)에 엄격히 포함되어 있으며, 이 포함관계는 엄밀하다. 이는 예제 2.1을 통해 입증되었다.
• 제시된 예인 $F^I$는 $B_1(x) \to 0$ 및 $B_2(x) \to 0$임을 보여줌으로써 단일 큰 점프 원칙을 만족함을 확인하여 $F^I \in \u03a3$임을 입증하였다.
• $F^I$는 $\overline{F^I}(x-t)/\overline{F^I}(x) \sim 1 + t$ ($n \to \infty$)로 수렴하므로, 약한 꼬리 등가 조건을 위반하여 어떤 서브지수 분포와도 약한 꼬리 등가가 아님을 보였다.
• 장수 꼬리이거나 지배적으로 변화하는 꼬리가 아닌 무거운 尾 분포로 이루어진 $Σ$의 하위집합은 비어 있지 않으며, 여러 잘 알려진 클래스와 교차함을 보여, 풍부하고 비자명한 구조를 지님을 시사한다.
• $F^I$의 통합 꼬리 분포는 파케스-베라베케-에브레히트 정리가 $Σ$에 대해 비자명하게 성립하지 않음을 보여주며, 꼬리 행동이 표준 서브지수 감쇠와 일치하지 않음이 확인되었다.
• 또한 이 예는 $F \in \u03a3$이면 $F^I \in \u03a3$라는 보장이 없으며, 반대로도 마찬가지임을 보여주며, $F$의 일차 모멘트가 유한하더라도 이 관계는 비자명하다. 이는 분포와 그 통합 꼬리 사이의 관계가 비자명함을 강조한다.