[논문 리뷰] On the structure of asymptotic l_p spaces

Edward Odell, Th. Schlumprecht외 1명|ArXiv.org|2006. 03. 02.

Advanced Banach Space Theory참고 문헌 5인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 $1 \leq p \leq \infty$ 에 대해 $\ell_p$ 에 점 渐진적인 모든 분리 가능하고 반사적인 바나흐 공간이 점 渐진적인 $\ell_p$ 유한차원 분해(FDD)를 갖는 반사 공간에 등장적으로 매장된다는 것을 증명한다. 핵심 기여는 점 渐진적인 $(\ell_p, \ell_q)$-트리 추정을 만족하는 반사 공간을 특징짓는 일반적 특성으로, 점 渐진적인 $(\ell_p, \ell_q)$-추정을 갖는 공간에서의 매장 및 몫 성질을 사용하며, 하향 및 상향 추정에 하향 기반을 갖는 새로운 프레임워크를 사용한다.

ABSTRACT

We prove that if X is a separable, reflexive space which is asymptotic l_p, then X embeds into a reflexive space Z having an asymptotic l_p finite-dimensional decomposition. This result leads to an intrinsic characterization of subspaces of spaces with an asymptotic l_p FDD. More general results of this type are also obtained.

연구 동기 및 목표

• 점 渐진적인 $\ell_p$ 에 근접한 반사 바나흐 공간을 점 渐진적인 $\ell_p$ FDD를 갖는 반사 공간에의 매장성에 따라 특징짓는 것.
• 이 특징을 $1 \leq q \leq p \leq \infty$ 에 대해 점 渐진적인 $(\ell_p, \ell_q)$-추정을 만족하는 공간으로 확장하는 것, 특히 $p=\infty$ (즉, $c_0$-유사 행동) 경우 포함.
• 점 渐진적인 $U$-상향 및 $V$-하향 추정을 하향 기반을 사용하여 일반화된 프레임워크를 개발하는 것, 특히 볼록화된 티르셀슨 공간을 포함하여.
• 이러한 공간들이 매장뿐만 아니라 점 渐진적인 $(\ell_p, \ell_q)$-추정을 갖는 반사 공간의 몫이 될 수 있음을 증명하여 쌍대성 결과를 제공하는 것.

제안 방법

• 유한차원 공간 $E_i$ 와 무조건적 기저를 갖는 바나흐 공간 $V$ 에 기반한 $Z_V(E)$ 공간을 도입하며, 이는 $\ell_p$-합의 일반화이다. 특히 볼록화된 티르셀슨 공간을 포함한다.
• 하향 기반을 갖는 바나흐 공간 $U$ 및 $V$ 에 대해 점 渐진적인 $U$-상향 및 $V$-하향 트리 추정 이론을 개발한다. 이들 $U$ 및 $V$ 는 대칭 부분수열 성질(SSP)과 약한 영 부분수열 성질(WNS)을 만족한다.
• 공간 $X$ 의 점 渐진적 구조와 그 쌍대공간 $X^*$ 의 점 渐진적 구조를 연결하기 위해 $U^{(*)}$ 와 $V^{(*)}$ 의 쌍대를 사용하는 쌍대성 추론을 적용하며, 대칭적 특징을 가능하게 한다.
• $\gamma$-트리 추정($T(V,\gamma)$)의 개념을 사용하여 블록 수열의 점 渐진적 행동을 제어하고, 안정성 결과를 적용하여 1-무조건적 기저를 갖는 반사적이고 하향 기반인 공간으로 축소한다.
• 매장 정리(정리 3.1, 추론 3.2, 정리 3.4)를 사용하여 점 渐진적 트리 추정의 존재성과 $Z_V(E)$ 및 $Y_V(F)$ 공간으로의 매장 및 몫 사상 간의 연결을 맺는다.
• FDD 사영 상수를 1로 보장하기 위해 재노름화 기법을 사용하며, 이는 $w^*$-밀도 있고 1-노름화 가능한 쌍대공간과 $Z^{(*)(*)}=Z$ 의 쌍대성 사용을 가능하게 한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 분리 가능하고 반사적인 바나흐 공간 $X$ 가 점 渐진적인 $\ell_p$ FDD를 갖는 반사 공간에 매장되는 조건은 무엇인가?
• RQ2 공간 $X$ 가 점 渐진적인 $(\ell_p, \ell_q)$-트리 추정을 만족하기 위해 필요한 내재 조건은 무엇인가? ($1 \leq q \leq p \leq \infty$)
• RQ3 이러한 공간들이 매장 외에도 점 渐진적인 $(\ell_p, \ell_q)$-추정을 갖는 공간에서 몫의 구조를 통해 특징지워질 수 있는가?
• RQ4 공간 $X$ 가 점 渐진적인 $(\ell_p, \ell_q)$-트리 추정을 만족할 때, $X$ 와 $X^*$ 의 점 渐진적 성질은 어떻게 관련되는가?
• RQ5 볼록화된 티르셀슨 공간은 점 渐진적 추정을 위한 모델 공간을 구성하는 데 어떤 역할을 하는가?

주요 결과

• 모든 분리 가능하고 반사적인 바나흐 공간 중에서 $1 \leq p \leq \infty$ 에 대해 $\ell_p$ 에 점 渐진적인 것은 점 渐진적인 $\ell_p$ FDD를 갖는 반사 공간 $Z$ 에 등장적으로 매장된다.
• 반사 공간 $X$ 가 점 渐진적인 $(\ell_p, \ell_q)$-트리 추정을 만족하는 것은, $X$ 가 점 渐진적인 $(\ell_p, \ell_q)$-추정을 만족하는 FDD를 갖는 반사 공간 $Z$ 에 매장되는 것과 동치이다.
• 동일한 공간 $X$ 는 점 渐진적인 $(\ell_p, \ell_q)$-추정을 만족하는 반사 공간의 몫이기도 하며, 이는 매장과 몫의 구조 간의 쌍대성을 증명한다.
• 이 특징은 $p=\infty$ (즉, $c_0$-유사 행동) 또는 $q=1$ 인 경우에도 성립하며, 프레임워크는 전체 범위 $1 \leq q \leq p \leq \infty$ 로 확장된다.
• 증명은 $T_{p,\gamma}$-공간과 그 쌍대공간의 구성에 의존하며, 적절한 쌍대성 하에 $T_{p,\gamma}^*$ 의 정규화된 블록 수열이 $T_{q,\gamma}^*$ 의 수열을 1-지배함을 보여준다.
• 이 결과는 [OS1]의 문제 5.4를 해결하며, 점 渐진적인 $\ell_p$ 공간이 점 渐진적인 $\ell_p$ FDD를 갖는 반사 공간에 매장되며, 동시에 그러한 공간의 몫이 된다는 것을 보여준다.