[논문 리뷰] On the structure of classical realizability models of ZF

Jean-Louis Krivine|arXiv (Cornell University)|2014. 08. 08.

Logic, programming, and type systems참고 문헌 4인용 수 9

한 줄 요약

이 논문은 ZF의 모든 고전적 실현 가능성 모델이 원래 모델과 동일한 순서수를 가지며, 기초 모델의 원소적 확장인 추이적 부분모델을 포함함을 증명한다. 주요 결과는 실현 가능성 모델의 특성 부울 대수에 대한 초필터를 통해 도출되며, 실현 가능성 모델의 구축 가능한 유니버스가 기초 모델의 구축 가능한 유니버스의 원소적 확장임을 결론 내린다.

ABSTRACT

The technique of "classical realizability" is an extension of the method of "forcing"; it permits to extend the Curry-Howard correspondence between proofs and programs, to Zermelo-Fraenkel set theory and to build new models of ZF, called "realizability models". The structure of these models is, in general, much more complicated than that of the particular case of "forcing models". We show here that the class of constructible sets of any realizability model is an elementary extension of the constructibles of the ground model (a trivial fact in the case of forcing, since these classes are identical). It follows that Shoenfield absoluteness theorem applies to realizability models.

연구 동기 및 목표

• ZF의 고전적 실현 가능성 모델의 구조적 성질, 특히 그 내부 부분모델을 조사하기 위해.
• 이러한 모델이 기초 모델의 순서수와 원소적 성질을 유지하는 추이적 부분모델을 포함하는지 확인하기 위해.
• 실현 가능성 모델 내의 구축 가능한 유니버스와 기초 모델 내의 구축 가능한 유니버스 간의 관계를 분석하기 위해.
• 실현 가능성 모델 내에서 잘 정렬된 관계를 확보하여 추이적 클래스로 축소시키는 데 기여하는 것을 목적으로.

제안 방법

• 저자들은 실현 가능성 대수와 항목, 스택, 프로세스, 증명 유사 항목을 기반으로 한 고전적 실현 가능성의 프레임워크를 사용한다.
• 실현 가능성 모델과 관련된 특성 부울 대수 $\gimel 2$를 정의하고, 정의 가능한 관계를 분석하기 위해 이에 대한 초필터를 구성한다.
• 실현 가능성 모델 위에서 진리 술어 $\cal D$를 사용하여 잘 정렬된 관계 $\in_{\cal D}$를 정의한다. 이는 '실현된' 소속 관계의 개념을 포착한다.
• collapsing 함수 $\Phi$는 순서수 함수와 유사하게 구성되며, 잘 정렬된 관계 $\in_{\cal D}$를 모델 $\mathcal{N}_\in$ 내의 추이적 클래스로 매핑한다.
• 모델 $\mathcal{N}_\in$ 이 ZF를 만족하고, $\Phi$를 통해 얻어진 추이적 클래스가 기초 모델 $\mathcal{M}$의 원소적 확장임을 증명한다.
• 이 구성은 각 ZF 공리가 증명 유사 항목으로 실현될 수 있음을 전제로 하며, 이는 모델의 보존성과 정확성을 보장한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 모든 ZF의 고전적 실현 가능성 모델이 원래 모델의 순서수를 유지하는 추이적 부분모델을 포함하는가?
• RQ2 축소를 통해 얻어진 추이적 부분모델이 기초 모델의 원소적 확장인가?
• RQ3 실현 가능성 모델 내의 구축 가능한 유니버스 $L^\mathcal{N}$과 기초 모델 내의 구축 가능한 유니버스 $L^\mathcal{M}$ 간의 관계는 어떠한가?
• RQ4 특성 부울 대수와 초필터를 사용하여 실현 가능성 모델 내의 소속 관계의 잘 정렬성을 확보할 수 있는가?
• RQ5 $\gimel 2$ 위의 초필터가 추이적이고 원소적 부분모델의 존재를 보장하는 데 어떤 역할을 하는가?

주요 결과

• 모든 실현 가능성 모델 $\mathcal{N}$ 은 $\mathcal{N}$ 과 동일한 순서수를 가지는 추이적 부분모델을 포함한다.
• 이 추이적 부분모델은 기초 모델 $\mathcal{M}$ 의 원소적 확장이며, 즉 $\mathcal{M}$ 에서 참인 모든 일阶 문장은 부분모델에서도 참이다.
• 특성 부울 대수 $\gimel 2$ 위의 적절한 초필터의 존재를 통해 $\mathcal{N}$ 내의 관계 $\in_{\cal D}$ 의 잘 정렬성이 확립된다.
• collapsing 함수 $\Phi$ 는 잘 정렬된 관계 $\in_{\cal D}$ 를 $\mathcal{N}_\in$ 내의 추이적 클래스로 매핑하며, 소속 관계의 구조를 유지한다.
• 기초 모델의 구축 가능한 유니버스 $L^\mathcal{M}$ 은 실현 가능성 모델 내의 구축 가능한 유니버스 $L^\mathcal{N}$ 의 원소적 부분모델이다.
• 모델 $\mathcal{N}_\in$ 은 ZF 를 만족하며, $\mathcal{N}$ 내의 공식의 진리값은 $\Pi$ 의 부분집합이며, 실현 가능성은 증명 유사 항목을 통해 정의된다.