[논문 리뷰] On the structure of $\infty$-Harmonic maps

Nicholas Katzourakis|LA Referencia (Red Federada de Repositorios Institucionales de Publicaciones Científicas)|2012. 04. 24.

Nonlinear Partial Differential Equations인용 수 7

한 줄 요약

이 논문은 ∞-조화 매apping—기능 $ E_\infty(u,\Omega) = \|H(Du)\|_{L^\infty(\Omega)} $의 L∞-변분 문제의 오일러-라그랑주 방정식으로 나타나는 비선형성과 비정규성의 PDE이자, $ n=2 \leq N $, $ H(P) = \frac{1}{2}|P|^2 $ 인 경우에 초점을 맞춘다. 이는 질량이 1인 매핑에 대한 강성 정리, $ |Du| $의 영점이 존재하지 않음을 증명하고, 극좌표에서의 해를 특성화하며, $ k \neq 1 $일 경우 해가 일차원임을, $ k=1 $일 경우 해가 2차원 평면에 존재하고 특정 ODE 시스템을 만족함을 보여준다.

ABSTRACT

Let $H \in C^2(\mathbb{R}^{N imes n})$, $H\geq 0$. The PDE system \[ \label{1} A_\infty u \, :=\, \Big(H_P \otimes H_P + H [H_P]^\bot H_{PP} \Big)(Du) : D^2 u\, = \, 0 ag{1} \] arises as the ``Euler-Lagrange PDE" of vectorial variational problems for the functional $E_{\infty}(u,Ω) = \| H(Du) \|_{L^\infty(Ω)}$ defined on maps $u : Ω\subseteq \mathbb{R}^n \longrightarrow \mathbb{R}^N$. \eqref{1} first appeared in the author's recent work \cite{K3}. The scalar case though has a long history initiated by Aronsson in \cite{A1}. Herein we study the solutions of \eqref{1} with emphasis on the case of $n=2\leq N$ with $H$ the Euclidean norm on $\mathbb{R}^{N imes n}$, which we call the ``$\infty$-Laplacian". By establishing a rigidity theorem for rank-one maps of independent interest, we analyse a phenomenon of separation of the solutions to phases with qualitatively different behaviour. As a corollary, we extend to $N \geq 2$ the Aronsson-Evans-Yu theorem regarding non-existence of zeros of $|Du|$ and prove a Maximum Principle. We further characterise all $H$ for which \eqref{1} is elliptic and also study the initial value problem for the ODE system arising for $n=1$ but with $H(\cdot,u,u')$ depending on all the arguments.

연구 동기 및 목표

• 벡터형 $ L^\infty $ 변분법에서 ∞-조화 매핑의 구조를 분석하는 것, 특히 $ n=2 \leq N $ 인 경우에 중점을 두는 것.
• $ |Du| $가 영이거나 $ Du $의 질량이 변화할 때 ∞-라플라스 PDE의 해의 행동을 이해하는 것.
• $ N \geq 2 $ 인 경우에 대해 Aronsson-Evans-Yu 정리의 $ |Du| $의 영점이 존재하지 않음을 확장하는 것.
• $ \infty $-라플라스 시스템이 타원형임을 보장하는 모든 해밀토니안 $ H $를 특성화하는 것.
• $ H $가 $ u, u' $에 의존하는 $ n=1 $의 경우에 나타나는 ODE 시스템의 초기값 문제를 연구하는 것.

제안 방법

• $ p \to \infty $ 일 때 $ p $-라플라스 시스템의 형식적 극한으로 ∞-라플라스 PDE를 유도하며, $ Du $의 범위와 영공간에 대한 수직 투영을 사용한다.
• 질량이 1인 매핑에 대한 강성 정리를 적용하여, $ Du $의 질량에 따라 해를 서로 다른 단계로 분해하는 분석을 수행한다.
• 극좌표 $ (\rho, \theta) $ 를 사용하여 PDE를 반경 방향 동차 해 $ u = \rho^k f(k\theta) $ 에 대해 ODE 시스템으로 감소시킨다.
• 두 개의 ODE를 유도한다: (6.1)은 접선 성분에 대해, (6.2)는 헤시안의 법선 성분에 대해, 시스템의 회전 대칭성에 기반한다.
• 계수의 불연속성으로 인해 $ Du $의 질량이 변화할 때 나타나는 단계 경계와 표면 불연속성을 식별하기 위해 기하학적 투영 $ [Du]^\perp $ 를 사용한다.
• 비선형성과 계수의 불연속성으로 인한 PDE의 특성을 다루기 위해 점성 해법 기법과 정규성 분석을 적용한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 $ |Du| $가 영이거나 $ Du $의 질량이 변화할 때, $ n=2, N\geq 2 $ 인 경우에 벡터형에서의 ∞-조화 매핑의 구조적 행동은 어떻게 되는가?
• RQ2 해가 $ |Du| $의 질량 변화에 따라 어떻게 서로 다른 단계로 분해되는가? 예를 들어 1차원과 2차원 영상 행동의 차이는 무엇인가?
• RQ3 Aronsson-Evans-Yu 정리에서 $ |Du| $가 영이 아니라는 결과를 $ N \geq 2 $ 인 벡터형 설정으로 확장할 수 있는가?
• RQ4 해밀토니안 $ H $에 어떤 조건이 있어야 $ \infty $-라플라스 시스템이 타원형이 되는가?
• RQ5 $ n=1 $ 인 경우에 $ H $가 $ u $와 $ u' $에 의존할 때, $ \infty $-라플라스 ODE 시스템의 해는 어떤 구조를 가지는가?

주요 결과

• $ k \neq 1 $ 일 경우, 극좌표 형태 $ u = \rho^k f(k\theta) $ 로 표현되는 $ \infty $-라플라스 방정식의 모든 해는 질량이 1이며, 이미지는 원점을 통과하는 직선 위에 존재한다.
• $ k = 1 $ 일 경우, 해는 질량이 최대 2이며, 이미지는 2차원 평면 위에 존재한다; 이는 $ f(\theta) = c\cos B(\theta)(\cos A(\theta), \sin A(\theta))^\top $ 로 표현될 수 있으며, 여기서 $ |B'|^2 + |A'|^2 \cot^2 B = 1 $ 이고 $ 0 < B \leq \pi/2 $ 이다.
• 논문은 $ N \geq 2 $ 일 경우 도메인 내부에서 $ |Du| $가 영이 될 수 없음을 증명하며, Aronsson-Evans-Yu 정리를 벡터형으로 확장한다.
• 시스템이 타원형인 것은 해밀토니안 $ H $의 헤시안이 $ H_P $의 영공간에서 특정 비퇴도 조건을 만족할 때에만 성립하며, 이 조건은 논문에서 특성화되어 있다.
• $ u(x,y) = e^{ix} - e^{iy} $ 와 같은 해들은 질량 변화에 따라 계수의 불연속성이 발생하여 2차원 및 1차원 영역으로 단계 분해된다.
• $ H $에 대한 적절한 정규성과 비퇴도 조건이 만족될 경우, $ n=1 $ 인 ODE 시스템의 초기값 문제는 잘 정의되어 있다.