[논문 리뷰] On the structure of separable $\mathcal{L}_\infty$-spaces

Spiros A. Argyros, I. Gasparis외 1명|arXiv (Cornell University)|2015. 04. 30.

Advanced Banach Space Theory참고 문헌 15인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 무한차원 분해 가능 $\mathcal{L}_\infty$-공간이 가산 유한집합의 합집합 위에서 호환 가능한 확장 연산자를 통해 구성된 부르가인-델바엔 공간과 등장함을 증명한다. 주요 기여는 $c_0$를 포함하지 않지만 반사적이고 점점 $c_0$에 가까워지는 $\mathcal{L}_\infty$-공간을 구성한 것으로, 비에르-사리가 제기한 $c_0$의 포함 여부 문제를 해결한다.

ABSTRACT

Based on a construction method introduced by J. Bourgain and F. Delbaen, we give a general definition of a Bourgain-Delbaen space and prove that every infinite dimensional separable $\mathcal{L}_\infty$-space is isomorphic to such a space. Furthermore, we provide an example of a $\mathcal{L}_\infty$ and asymptotic $c_0$ space not containing $c_0$.

연구 동기 및 목표

• 부르가인-델바엔 구성 방법을 일반화하여 지금은 부르가인-델바엔 공간이라 불리는 넓은 범주의 바나흐 공간을 정의하는 것.
• 모든 무한차원 분해 가능 $\mathcal{L}_\infty$-공간이 그러한 공간과 등장함을 증명하는 것.
• 점점 $c_0$에 가까워지는 $\mathcal{L}_\infty$-공간 중 $c_0$의 복사본을 포함하지 않는 예를 구성하여, 비에르-사리가 제기한 질문에 답하는 것.
• 지역적으로 $c_0$에 가까운 성질이 $\mathcal{L}_\infty$-공간과 점점 $c_0$에 가까워지는 성질을 동시에 만족한다고 해서 무한차원 $c_0$ 부분공간이 존재한다는 것을 의미하지는 않는다는 것을 보여주는 것.

제안 방법

• 가산 유한집합의 엄밀히 증가하는 수열 $(\Gamma_q)$, $\Gamma = \bigcup_q \Gamma_q$, 그리고 유계인 연산자 노름을 가진 호환 가능한 확장 연산자 $i_q: \ell_\infty(\Gamma_q) \to \ell_\infty(\Gamma)$를 통해 부르가인-델바엔 공간을 정의한다.
• 유한차원 부분공간 $Y_n$의 합집합의 닫힘을 통해 공간 $\mathfrak{X}_0$를 구성하며, 각각의 부분공간은 확장 연산자로부터 유도된 벡터 $d_{\gamma_i}$에 의해 생성된다.
• 스카우드 기저 $(d_{\gamma_i})_i$와 FDD $(M_q)$를 사용하여 블록 수열을 분석하고 점점 $c_0$에 가까워지는 구조를 확립한다.
• 함수형 $e_\gamma^*$와 제한된 투영 $P_E$를 이용한 추정을 통해 블록 합의 노름을 유계로 제한하며, 이는 $n_r$과 $N, \theta$의 성장 조건에 의존한다.
• 제안 2.17과 기저의 블록 성질을 이용하여 쇼우드 기저의 수축성과 $\ell_1$과의 동형성을 증명한다.
• $n_r$의 성장과 $\|\sum u_i\| \leq K_{N,\theta}$의 유계성 조건을 사용하여, 건너뛰는 블록 수열이 $c_0$ 기저와 동치가 될 수 없음을 보이고, 이는 $c_0$ 부분공간이 존재하지 않음을 의미한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 모든 분해 가능 무한차원 $\mathcal{L}_\infty$-공간이 호환 가능한 확장 연산자를 통해 구성된 부르가인-델바엔 공간과 등장하는가?
• RQ2 점점 $c_0$에 가까워지는 $\mathcal{L}_\infty$-공간 중 $c_0$의 복사본을 포함하지 않는 예를 구성할 수 있는가?
• RQ3 $\mathcal{L}_\infty$-구조와 점점 $c_0$에 가까워지는 구조의 조합이 $c_0$ 부분공간의 존재를 암시하는가?
• RQ4 구성된 $\mathcal{L}_\infty$-공간 $\mathfrak{X}_0$의 슬렌크 지표는 무엇이며, 이는 $\ell_1$ 스프레ading 모델의 존재를 암시하는가?

주요 결과

• 모든 무한차원 분해 가능 $\mathcal{L}_\infty$-공간은 가산 유한집합의 합집합 위에서 호환 가능한 확장 연산자를 통해 정의된 부르가인-델바엔 공간과 등장한다.
• 구성된 공간 $\mathfrak{X}_0$는 반사적이고 점점 $c_0$에 가까워지는 $\mathcal{L}_\infty$-공간이며, 수축 가능한 스키우드 기저 $(d_{\gamma_i})_i$를 갖는다.
• $\mathfrak{X}_0$의 쌍대공간은 $\ell_1$과 등장하므로, 이는 $\ell_1$-예비공간의 동형이다.
• 건너뛰는 블록 수열에서 함수형의 평가가 균일하게 감쇠함을 보여 $\mathfrak{X}_0$는 $c_0$와 동형인 부분공간을 포함하지 않는다.
• 지원 조건과 노름 조건을 만족할 경우, 임의의 블록 합 $\|\sum_{i=1}^m u_i\|$의 노름은 $m$에 관계없이 $K_{N,\theta} = (2N^3 + 4\theta N^2 - 4\theta N)/(N^2 - 3\theta N + 2\theta^2)$로 유계로 제한된다.
• $\mathfrak{X}_0$는 슬렌크 지표 $\omega$를 가지며, $\ell_1$ 스프레딩 모델이 존재하지 않음을 확인함으로써 $c_0$ 부분공간이 존재하지 않음을 뒷받침한다.