[논문 리뷰] On the structure of the energy-momentum and the spin currents in Dirac's electron theory

Friedrich W. Hehl, Alfredo Macı́as외 2명|arXiv (Cornell University)|1997. 06. 03.

Quantum Electrodynamics and Casimir Effect인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 평탄한 민코프스키 시공간 내 디랙 전자 이론에서 캐논리컬 에너지-모멘텀 및 스핀 전류의 고든 분해를 수행하여 각각의 전류를 이류 및 분극 성분으로 분리한다. 분극 성분은 이중형식으로 표현된 중력 모멘트와 관련된 전치 및 로렌츠 군에 대한 외부 공변 도함수로부터 유래되며, 비상대론적 근사에서 이 성분은 전자의 스핀 코베이터에 비례한다.

ABSTRACT

We consider a classical Dirac field in flat Minkowski spacetime. We perform a Gordon decomposition of its canonical energy-momentum and spin currents, respectively. Thereby we find for each of these currents a convective and a polarization piece. The polarization pieces can be expressed as exterior covariant derivatives of the two-forms $\\check M_\\alpha$ and $M_{\\alpha\\beta}=-M_{\\beta\\alpha}$, respectively. In analogy to the magnetic moment in electrodynamics, we identify these two-forms as gravitational moments connected with the translation group and the Lorentz group, respectively. We point out the relation between the Gordon decomposition of the energy-momentum current and its Belinfante-Rosenfeld symmetrization. In the non-relativistic limit, the translational gravitational moment of the Dirac field is found to be proportional to the spin covector of the electron.

연구 동기 및 목표

• 디랙 장의 캐논리컬 에너지-모멘텀 및 스핀 전류를 물리적 성분으로 분해하는 것.
• 이러한 전류들에서 분극 기여의 기원을 미분기하학적 구조를 통해 규명하는 것.
• 분극 항을 영역 군과 로렌츠 군과 관련된 중력 모멘트로 해석하는 것.
• 고든 분해와 벨린반테-로젠펠트 대칭화 절차 사이의 관계를 명확히 하는 것.
• 비상대론적 근사를 분석하고 전자의 스핀 코베이터와의 관계를 규명하는 것.

제안 방법

• 민코프스키 시공간 내 디랙 장의 캐논리컬 에너지-모멘텀 전류에 고든 분해를 적용하는 것.
• 디랙 장의 스핀 전류 텐서에 유사한 분해를 수행하는 것.
• 양자장의 두 성분 전류의 분극 부분을 반대칭 이형식 $\check{M}_\alpha$ 및 $M_{\alpha\beta}$의 외부 공변 도함수로 표현하는 것.
• $\check{M}_\alpha$를 영역 군과 관련된 중력 모멘트로 식별하고, $M_{\alpha\beta}$를 로렌츠 군과 관련된 것으로 식별하는 것.
• 전류 성분의 구조를 통해 고든 분해를 벨린반테-로젠펠트 대칭화 절차와 연결하는 것.
• 비상대론적 근사를 취하여 영역 군과 관련된 중력 모멘트의 행동을 분석하는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 디랙 장의 캐논리컬 에너지-모멘텀 전류는 어떻게 물리적으로 의미 있는 성분으로 분해될 수 있는가?
• RQ2 에너지-모멘텀 전류의 분극 부분은 기하학적이고 물리적으로 어떻게 해석될 수 있는가?
• RQ3 이중형식 $\check{M}_\alpha$와 $M_{\alpha\beta}$는 영역 군과 로렌츠 군의 맥락에서 중력 모멘트와 어떻게 관련되는가?
• RQ4 고든 분해와 에너지-모멘텀 텐서의 벨린반테-로젠펠트 대칭화 절차 사이의 관계는 무엇인가?
• RQ5 비상대론적 근사에서 영역 군과 관련된 중력 모멘트는 어떻게 행동하며, 전자의 스핀과의 관계는 무엇인가?

주요 결과

• 디랙 장의 에너지-모멘텀 전류는 이류 성분과 분극 성분으로 나뉘며, 후자는 이중형식 $\check{M}_\alpha$의 외부 공변 도함수로 표현될 수 있다.
• 스핀 전류 역시 이류 및 분극 성분으로 분해되며, 분극 항은 반대칭 이형식 $M_{\alpha\beta}$의 외부 도함수로부터 유래된다.
• 이중형식 $\check{M}_\alpha$는 영역 군과 관련된 중력 모멘트로 식별되며, 전기역학에서의 자화모멘트와 유사하다.
• 이중형식 $M_{\alpha\beta}$는 로렌츠 군과 관련된 중력 모멘트를 나타내며, 국소적 회전 대칭성을 반영한다.
• 두 전류의 분극 부분은 기하학적으로도 물리적으로도 이류 기여와 명백히 다름을 보였다.
• 비상대론적 근사에서 영역 군과 관련된 중력 모멘트 $\check{M}_\alpha$는 전자의 스핀 코베이터에 비례하는 것으로 나타났으며, 스핀과 중력 모멘트 사이의 직접적 연관성을 확립하였다.