[논문 리뷰] On the Successive Cancellation Decoding of Polar Codes with Arbitrary Linear Binary Kernels

Zhiliang Huang, Shiyi Zhang외 3명|arXiv (Cornell University)|2017. 01. 12.

Error Correcting Code Techniques참고 문헌 9인용 수 9

한 줄 요약

이 논문은 임의의 선형 이진 커널을 사용하여 펄스 코드의 저복잡도 순차 취소(SC) 디코딩 방법을 제안한다. 이를 위해 두 가지 새로운 표현 프레임워크인 $l$-표현식과 $W$-표현식을 도입한다. $W$-표현식 방법은 $m \leq 16$일 때 디코딩 복잡도를 $O(2^m N \log N)$에서 $O(m^2 N \log N)$로 감소시켜, $16\times16$와 같은 고차원 커널의 효율적 SC 디코딩을 가능하게 하며, 기존 $2\times2$ 커널 코드보다 뛰어난 오류 성능을 달성한다.

ABSTRACT

A method for efficiently successive cancellation (SC) decoding of polar codes with high-dimensional linear binary kernels (HDLBK) is presented and analyzed. We devise a $l$-expressions method which can obtain simplified recursive formulas of SC decoder in likelihood ratio form for arbitrary linear binary kernels to reduce the complexity of corresponding SC decoder. By considering the bit-channel transition probabilities $W_{G}^{(\cdot)}(\cdot|0)$ and $W_{G}^{(\cdot)}(\cdot|1)$ separately, a $W$-expressions method is proposed to further reduce the complexity of HDLBK based SC decoder. For a $m imes m$ binary kernel, the complexity of straightforward SC decoder is $O(2^{m}N\log N)$. With $W$-expressions, we reduce the complexity of straightforward SC decoder to $O(m^{2}N\log N)$ when $m\leq 16$. Simulation results show that $16 imes16$ kernel polar codes offer significant advantages in terms of error performances compared with $2 imes2$ kernel polar codes under SC and list SC decoders.

연구 동기 및 목표

• 고차원 선형 이진 커널(HDLBK)을 사용하는 펄스 코드의 순차 취소(SC) 디코딩에서 발생하는 높은 계산 복잡도 문제를 해결하기 위해, 이 복잡도가 $O(2^m N \log N)$로 증가하고 $m \geq 16$일 경우 실용성이 떨어지므로 이를 해결하고자 한다.
• 특정 크기나 특정 커널 구조에 국한되지 않고, 임의의 선형 이진 커널에 적용 가능한 일반적이고 효율적인 디코딩 프레임워크를 개발하고자 한다.
• 특히 고분화 지수가 높은 커널에 대해 복잡도를 감소시키면서도 오류 성능을 유지하거나 향상시키고자 한다.
• 고차원 커널 펄스 코드의 실용적 구현을 가능하게 하기 위해, 재귀적 표현을 통해 가능도 비율 계산을 단순화하고자 한다.

제안 방법

• 임의의 선형 커널에 대해 효율적인 계산을 가능하게 하기 위해, $\diamond$ 연산을 사용하는 $l$-표현식을 도입한다: $l_1 \diamond l_2 = \frac{l_1 l_2 + 1}{l_1 + l_2}$, 이를 통해 SC 디코더 내의 가능도 비율을 재귀적으로 표현한다.
• 비트 채널 전이 확률 $W_G^{(i)}(\cdot|0)$와 $W_G^{(i)}(\cdot|1)$를 별도로 분석함으로써 $W$-표현식을 제안한다. 이를 통해 재귀적 표현의 추가 단순화를 가능하게 한다.
• 표현식 내부의 반복적인 부분 표현을 식별하고 재사용함으로써, $W$-표현식의 표현 길이와 계산 부담을 크게 감소시킨다.
• 알고리즘 2를 사용하여 $m=16$까지의 최적 커널에 대해 $W$-표현식을 생성하며, $C_W(m)$는 평균 표현 길이를 측정하고 복잡도 분석을 안내한다.
• 코드 설계에 몬테카를로 방법과 가우시안 근사(GA-DE) 방법을 모두 활용하였으며, 더 큰 커널에 대해 몬테카를로 방법이 더 정확한 것으로 밝혀졌다.
• 복잡도를 $O(C_W(m) \cdot m N \log_m N)$로 분석하였으며, $m \leq 16$일 경우 이는 $O(m^2 N \log N)$로 감소함을 보여, 기존의 난이도 높은 $O(2^m N \log N)$ 접근 방식에 비해 크게 향상됨을 입증한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 임의의 선형 이진 커널에 대해 $l$-표현식을 일반화하여 SC 디코딩 복잡도를 감소시킬 수 있는가?
• RQ2 $W(\cdot|0)$와 $W(\cdot|1)$ 전이를 분리함으로써 $W$-표현식이 가능도 비율 재귀 표현을 추가로 단순화할 수 있는가?
• RQ3 고차원 커널에 대해 $W$-표현식이 기존의 난이도 높은 SC 디코더에 비해 달성할 수 있는 복잡도 감소율은 얼마인가?
• RQ4 SC 및 리스트 SC 디코딩 하에서 $m=16$인 고차원 커널 펄스 코드의 오류 성능은 기존의 $2\times2$ 커널 코드와 비교해 어떻게 되는가?
• RQ5 커널 크기 $m$이 증가함에 따라 가우시안 근사 방법이 코드 설계에 대해 여전히 정확한가?

주요 결과

• $W$-표현식 방법은 $m \leq 16$일 때 HDLBK 기반 펄스 코드의 디코딩 복잡도를 $O(2^m N \log N)$에서 $O(m^2 N \log N)$로 감소시켜 고차원 커널의 실용성을 확보한다.
• $m=16$일 때 $W$-표현식 방법은 $O(6.7 \cdot m N \log_m N)$의 복잡도를 달성하며, $C_W(16) = 6.7$으로 표현 길이의 상당한 감소를 나타낸다.
• 시뮬레이션 결과, $16\times16$ 커널 펄스 코드는 SC 및 리스트 SC 디코딩 모두에서 짧은 블록 길이에도 불구하고 $2\times2$ 커널 코드보다 프레임 오류율에서 뛰어난 성능을 보였다.
• $G_{16}^\otimes 3$ 코드는 $G_2^\otimes 12$에 비해 뚜렷한 성능 향상을 보이며, 더 큰 지수를 가진 고차원 커널의 이점을 입증한다.
• 코드 설계에 대해 몬테카를로 방법이 탈-바르디 방법과 동등한 정확도를 보였으며, GA-DE 방법은 $m=16$과 같은 큰 커널에서는 정확도가 떨어짐을 입증하였다.
• $W$-표현식 내부의 표현 단순화 기법은 공통된 부분 표현을 재사용함으로써, 특히 큰 커널에 대해 중복 계산을 줄여 계산 부담을 크게 감소시킨다.