[논문 리뷰] On the sum-of-squares degree of symmetric quadratic functions

Troy Lee, Anupam Prakash외 2명|arXiv (Cornell University)|2016. 01. 11.

Advanced Optimization Algorithms Research참고 문헌 23인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 불리안 하이퍼큐브 위에서 형태 $f_k(x) = (|x| - k)(|x| - k - 1)$를 가진 대칭 이차함수의 $\ell_\infty$ 및 $\ell_1$-노름에서의 근사에 필요한 합의 제곱(SOS) 차수에 대해 날카러운 경계를 설정한다. 이는 $f_k$에 대한 $\ell_1$-근사에 대한 SOS 차수가 $\Theta(\sqrt{k(n-k)})$임을 증명하며, 이는 증명 복잡도와 양자 질의 복잡도 분야의 열린 문제들을 해결한다.

ABSTRACT

We study how well functions over the boolean hypercube of the form $f_k(x)=(|x|-k)(|x|-k-1)$ can be approximated by sums of squares of low-degree polynomials, obtaining good bounds for the case of approximation in $\ell_{\infty}$-norm as well as in $\ell_1$-norm. We describe three complexity-theoretic applications: (1) a proof that the recent breakthrough lower bound of Lee, Raghavendra, and Steurer on the positive semidefinite extension complexity of the correlation and TSP polytopes cannot be improved further by showing better sum-of-squares degree lower bounds on $\ell_1$-approximation of $f_k$; (2) a proof that Grigoriev's lower bound on the degree of Positivstellensatz refutations for the knapsack problem is optimal, answering an open question from his work; (3) bounds on the query complexity of quantum algorithms whose expected output approximates such functions.

연구 동기 및 목표

• 불리안 하이퍼큐브 위에서 대칭 이차함수 $f_k(x) = (|x| - k)(|x| - k - 1)$를 근사하는 데 필요한 합의 제곱 다항식의 최소 차수를 결정하는 것.
• 이 함수들에 대한 $\ell_\infty$ 및 $\ell_1$-근사 SOS 차수에 대해 날카러운 경계를 설정하는 것.
• knapsack 문제에 대한 Grigoriev의 Positivstellensatz 하한 경계의 최적성과 다각형에 대한 SOS 기반 확장의 제한성과 같은 복잡도 이론 분야의 열린 질문들을 해결하는 것.
• 이러한 대칭 함수를 근사하는 데 필요한 양자 알고리즘의 질의 복잡도에 대한 새로운 경계를 제공하는 것.

제안 방법

• 대칭 함수 $f_k(x) = (|x| - k)(|x| - k - 1)$의 SOS 근사 분석을 단변수 다항식 기법과 대칭 다항식 항등식을 활용한다.
• Blekherman의 정리(비음수 다항식에 관한)를 적용하여 $A_k(\mathbf{x}) = |\mathbf{x}|(|\mathbf{x}|-1)\cdots(|\mathbf{x}|-k+1)$에 대해 저차수의 SOS 표현을 구성한다.
• 항등식 $A_{k+2}(\mathbf{x}) + b = g(\mathbf{x})(|\mathbf{x}| - r)$를 사용하여 $b = -r(r-1)\cdots(r-k-1)$이면, knapsack 체계에 대해 차수 $2k+4$의 Positivstellensatz 반증을 구성한다.
• 모멘트 행렬과 차수 $\leq d$인 단항식 기저 $m_x$를 활용하여 SOS 근사 문제를 준위-정수 프로그래밍 타당성 문제로 환원한다.
• $\varepsilon = \delta 2^n$에 해당하는 평균 오차 $\delta$에 대응하는 $\sum_x |f(x) - h(x)| \leq \varepsilon$를 통한 $\ell_1$-노름 근사 기법을 사용한다.
• $e_k(x_1^2, \dots, x_n^2)$가 차수 $2k$의 SOS임을 이용하고, $A_k$를 기본 대칭 다항식과 제약 조건 $x_i^2 - x_i = 0$과 연결한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 어느 정도의 SOS 차수가 $f_k(x) = (|x| - k)(|x| - k - 1)$를 $\ell_\infty$-노름에서 $\varepsilon$-근사하기 위해 필요한가?
• RQ2 어느 정도의 SOS 차수가 $f_k$를 $\ell_1$-노름에서 $\varepsilon$-근사하기 위해 필요한가? 이는 $k$와 $n$에 따라 어떻게 변화하는가?
• RQ3 knapsack 체계에 대한 Grigoriev의 $2k+4$ 차수 하한 경계는 최적인가?
• RQ4 함수 $f_k$의 SOS 차수를 이용하여 correlation 다각형 및 TSP 다각형과 같은 다각형에 대한 SDP 계층의 확장에 대한 제한성을 증명할 수 있는가?
• RQ5 이러한 SOS 경계는 대칭 함수를 근사하는 양자 알고리즘의 질의 복잡도에 어떤 영향을 미치는가?

주요 결과

• $f_k$의 $\ell_1$-근사 SOS 차수는 $\Theta(\sqrt{k(n-k)})$이며, 이는 함수의 정확한 차수와 일치하여 경계의 날카러움을 보여준다.
• $f_k$의 $\ell_\infty$-근사 SOS 차수는 $\Theta(\sqrt{k(n-k)} + \sqrt{n\log(1/\varepsilon)})$이며, 대칭 부울 함수의 근사 차수와 유사하다.
• knapsack 체계에 대한 Grigoriev의 $2k+4$ 차수 하한 경계는 최적이다. 왜냐하면 차수 $2k+4$의 반증이 존재하기 때문이다.
• $f_k$의 SOS 차수를 이용하여 correlation 다각형 및 TSP 다각형의 $\ell_1$-근사 하한 경계를 Lee, Raghavendra, Steurer가 이미 밝힌 바를 초월해 향상시킬 수 없다.
• 결과적으로, 비적응형으로 $f_k$를 근사하는 양자 알고리즘은 $\Omega(\sqrt{k(n-k)})$개의 질의를 필요로 하며, 이는 OR 함수에 대한 알려진 하한과 일치한다.
• $k < r < k+1$에 대해 차수 $2k+4$의 Positivstellensatz 반증을 구성함으로써, Grigoriev의 경계가 날카럽고 [Gri01]에서 제기된 열린 문제를 해결함을 확인한다.