[논문 리뷰] On the sums of series of reciprocals

Leonhard Euler|ArXiv.org|2005. 06. 20.

History and Theory of Mathematics인용 수 3

한 줄 요약

Euler는 사인 급수의 근과 원의 곡률을 연결하여 정수의 역수 거듭제곱 합에 대한 정확한 닫힌 형태 표현을 유도한다. 특히 짝수 거듭제곱에 대해 이를 유도하며, 오일러는 자연수 제곱의 역수 합이 π²/6임을 보이고, 베르누이 수를 사용하여 고차 짝수 거듭제곱으로 일반화한다. 이는 해석적 수론과 특수함수 이론의 기초적인 결과이다.

ABSTRACT

This translation has been published in Stephen Hawking (ed.), "God Created the Integers", published in 2007 by Running Press. There may have been some changes to the final published version and this copy. This is a translation from the Latin original, "De summis serierum reciprocarum" (1735). E41 in the Enestrom index. In this paper Euler finds an exact expression for the sum of the squares of the reciprocals of the positive integers, namely pi^2/6. He shows this by applying Newton's identities relating the roots and coefficients of polynomials to the power series of the sine function. Indeed, in other words this result is zeta(2)=pi^2/6, and Euler also works out zeta(4),zeta(6),...,zeta(12). His method will work out zeta(2n) for all n, but he does not give a general expression for zeta(2n); he gives a general expression involving the Bernoulli numbers in a latter paper.

연구 동기 및 목표

• 오랜 기간 동안 해결되지 않았던 무한급수 ∑1/n^{2k}에 대한 닫힌 형태 표현을 찾는 문제를 해결한다. 이는 광범위한 노력에도 불구하고 오랫동안 해결되지 않았다.
• 역수 거듭제곱의 합과 원의 기하학, 특히 원주율 π 사이의 깊은 연관성을 수립한다.
• 삼각함수 급수의 무한 곱 인수분해 기반으로 근의 대칭합을 추출하는 새로운 방법을 개발한다.
• 해결책을 모든 짝수 거듭제곱으로 일반화하여, 베르누이 수와 리만 제타 함수와 관련된 패턴을 드러낸다.
• ζ(2), ζ(4), ζ(6) 등에 대한 정확한 해석적 표현을 제공하며, 해석학, 수론, 기하학을 연결한다.

제안 방법

• 사인 함수를 호의 길이 s에 대한 무한급수로 표현한다: sin(s) = s - s³/(3!) + s⁵/(5!) - s⁷/(7!) + ⋯
• 사인 급수를 동일한 사인 값을 갖는 모든 호에 대응하는 무한한 근을 가진 s에 대한 초월방정식으로 재해석한다.
• 모든 근을 기반으로 무한곱으로 표현한다: (1 - s/A)(1 - s/B)(1 - s/C)⋯, 여기서 A, B, C, ...는 각각의 근이다.
• 무한곱을 전개하고 원래 급수의 계수와 비교하여 근의 역수의 대칭합을 도출한다.
• sin(s)/s의 알려진 급수 전개를 이용해 s², s⁴ 등의 계수를 식별하고, 이를 1/n², 1/n⁴ 등의 합과 연결한다.
• 결과로 얻은 합을 원주율 π와 연결하며, 1/n²의 합이 π²/6임을 인지하고, 베르누이 수를 포함하는 재귀관계를 통해 고차 짝수 거듭제곱으로 일반화한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 무한급수 ∑_{n=1}^∞ 1/n²의 정확한 값은 무엇이며, 이를 해석적으로 어떻게 도출할 수 있는가?
• RQ2 짝수 정수 2k에 대해 ∑_{n=1}^∞ 1/n^{2k}에 대한 일반 공식을 찾을 수 있는가?
• RQ3 역수 짝수 거듭제곱의 합은 원주율 π와 원의 곡률 문제와 어떻게 관련되어 있는가?
• RQ4 사인 함수의 무한곱 전개는 이러한 합을 도출하는 데 어떤 역할을 하는가?
• RQ5 sin(s)의 멱급수 계수는 근의 대칭 함수를 추출하는 데 사용될 수 있으며, 이는 무엇을 의미하는가?

주요 결과

• 자연수 제곱의 역수 합은 정확히 π²/6이며, 즉 ∑1/n² = π²/6이다.
• 자연수 네제곱의 역수 합은 π⁴/90이며, 즉 ∑1/n⁴ = π⁴/90이다.
• 자연수 여섯제곱의 역수 합은 π⁶/945이며, 즉 ∑1/n⁶ = π⁶/945이다.
• 자연수 여덟제곱의 역수 합은 π⁸/9450이며, 즉 ∑1/n⁸ = π⁸/9450이다.
• 자연수 열제곱의 역수 합은 π¹⁰/93555이며, 즉 ∑1/n¹⁰ = π¹⁰/93555이다.
• 십이제곱의 경우 합은 (691/6825) × π¹²/93555이며, 이는 베르누이 수 B₁₂ = 691/2730이 계수에 나타남을 보여준다.