[논문 리뷰] On the super edge-magicness of graphs of equal order and size

Susana-Clara López, Francesc-Antoni Muntaner-Batle외 1명|arXiv (Cornell University)|2017. 06. 01.

Graph Labeling and Dimension Problems인용 수 1

한 줄 요약

이 논문은 순서와 크기가 동일한 그래프의 초변간마법 성질을 조사하며, 특히 고리와 별을 포함하는 가족에 초점을 맞춘다. ⊗h-곱과 인접행렬 분석을 사용하여 2L ∪ LK₁,n과 같은 일부 구성이 초변간마법이 아님을 증명하며, 일반적인 장애 요인인 정점-간선 불균형이나 홀짝성과는 다름없는 희귀한 부정적 결과를 제시한다. 주요 기여는 이 클래스 내에서 초변간마법 그래프를 체계적으로 특성화한 것으로, 구조적 통찰을 포함한 긍정적 및 부정적 결과를 포함한다.

ABSTRACT

The super edge-magicness of graphs of equal order and size has been shown to be important since such graphs can be used as seeds to answer many questions related to (super) edge-magic labelings and other types of well studied labelings, as for instance harmonious labelings. Also other questions related to the area of combinatorics can be attacked and understood from the point of view of super edge-magic graphs of equal order and size. For instance, the design of Steiner triple systems, the study of the set of dual shuffle primes and the Jacobsthal numbers. In this paper, we study the super edge-magic properties of some types of super edge-magic graphs of equal order and size, with the hope that they can be used later in the study of other related questions. The negative results found in last section are specially interesting since these kind of results are not common in the literature. Furthermore, the few results found in this direction usually meet one of the following reasons: too many vertices compared with the number of edges; too many edges compared with the number of vertices; or parity conditions. In this case, all previous reasons fail in our results.

연구 동기 및 목표

• 중심에 고리가 있는 고리와 별로 구성된 초변간마법 그래프를 순서와 크기가 동일할 경우 특성화하는 것.
• 동일한 순서와 크기 클래스 내에서 유효한 시드 그래프를 식별하여 ⊗h-곱 구성의 적용 가능성을 확장하는 것.
• 정점-간선 불균형이나 홀짝성 문제에서 기인하지 않는 초변간마법성에 대한 희귀한 부정적 결과를 제공하는 것.
• 초변간마법 레이블링과 잰브스탈 수 또는 슈타이너 삼중체 시스템과 같은 조합 구조 간의 연결 고리를 설정하는 것.

제안 방법

• 지식이 있는 시드 그래프에서 새로운 초변간마법 그래프를 생성하기 위해 방향성 그래프의 ⊗h-곱을 활용한다.
• 레마 1.1을 적용하여 초변간마법성을 연속 정수 집합을 형성하는 간선 합의 존재로 재정의한다.
• 방향성 그래프의 인접행렬을 분석하여 초변간마법 레이블링에서 유도되는 구조적 제약 조건을 강제한다.
• 초변간마법 보완 레이블링과 그 행렬 회전 성질(레마 1.3)을 활용하여 모순을 도출한다.
• 비초변간마법 케이스에서 가능한 레이블링을 배제하기 위해 인접행렬의 행 패턴에 대한 케이스 분석을 수행한다.
• 정리 1.1을 적용하여 시드 방향 그래프가 초변간마법이면 ⊗h-곱 결과도 초변간마법임을 확인한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 순서와 크기가 동일할 때, 중심에 고리가 있는 고리와 별로 구성된 그래프의 어떤 가족이 초변간마법인가?
• RQ2 동일한 순서와 크기를 가진 시드 그래프에서 ⊗h-곱 구성이 새로운 초변간마법 그래프를 신뢰성 있게 생성할 수 있는가?
• RQ3 L ∪ LK₁,n 또는 2L ∪ LK₁,n과 같은 특정 그래프들이 일반적인 조건을 만족하고도 초변간마법이 되지 못하는 이유는 무엇인가?
• RQ4 이러한 그래프 가족에서 초변간마법성을 항상 방지하는 구조적 또는 대수적 불변량이 존재하는가?
• RQ5 자연수 n과 s에 대해 형태가 nL ∪ nLK₁,s인 초변간마법 그래프의 집합은 무엇으로 특징지어지는가?

주요 결과

• 2L ∪ LK₁,n은 초변간마법이 아니며, 초변간마법 레이블링 하에서 인접행렬의 구조에 모순이 발생함으로써 증명된다.
• L ∪ LK₁,n은 연속된 합 조건과 대각선 제약 조건을 만족시킬 수 없기 때문에 초변간마법이 아니며, 이는 불가능성에 기인한다.
• 2L ∪ LK₁,n은 유효한 레이블링이 존재하지 않아 필요한 인접행렬 행 패턴과 대각선 커버리지 조건을 충족시킬 수 없기 때문에 초변간마법이 아니다.
• (2s+1)LK₁,n은 모든 s ∈ ℕ에 대해 초변간마법이며, 이는 고리가 있는 별 그래프의 홀수 배수에서 구조적 패턴을 보여준다.
• 2LK₁,₁ ∪ LK₁,n은 모든 n ∈ ℕ에 대해 초변간마법이며, 이는 다수의 별과 고리의 특정 조합이 초변간마법일 수 있음을 보여준다.
• deer 그래프(2LK₁,₁ ∪ LK₁,n으로 정의됨)는 초변간마법이며, 이는 순서와 크기가 동일한 초변간마법 그래프의 새로운 클래스를 제공한다.