[논문 리뷰] On the support of the Grover walk on higher-dimensional lattices

Norio Konno, Sarato Takahashi|arXiv (Cornell University)|2020. 01. 28.

Quantum chaos and dynamical systems참고 문헌 8인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 고유값 문제 $U_G\Psi = \lambda\Psi$ 를 풀어 $|\lambda|=1$ 인 경우에 대해 $d$차원 격자 위의 그로버 워크(stationary measures)의 최소 지지 크기를 결정한다. 이동 이동자 모델의 경우 최소 지지 크기는 $2^d$ 점이며, 플립플롭 이동자 모델의 경우 $d \geq 2$ 에서는 4점이며, 1차원에서는 유한 지지가 존재하지 않는다. 결과들은 스펙트럼 및 대수적 방법을 통해 이전 연구를 보완한다.

ABSTRACT

This paper presents the minimum supports of states for stationary measures of the Grover walk on the d-dimensional lattice by solving the corresponding eigenvalue problem. The numbers of the minimum supports for moving and flip-flop shifts are 2^d (d ge 1) and 4 (d ge 2), respectively.

연구 동기 및 목표

• 그로버 워크의 $\mathbb{Z}^d$ 상 정적 측정의 지지하는 격자 점의 최소 수를 결정하기 위해.
• 고유값 분석을 통해 이전 결과의 모순을 해결하고 개선하기 위해.
• 이동 이동자 모델을 사용한 1차원 그로버 워크에 대해 유한 지지가 존재하지 않음을 입증하기 위해.
• 직접 고유값 문제를 풀어 스펙트럼 매핑 및 푸리에 분석 결과를 통합하고 확인하기 위해.

제안 방법

• 고유값 문제 $U_G\Psi = \lambda\Psi$ 를 $|\lambda|=1$ 인 경우에 대해 풀어 정적 진폭을 식별하기 위해.
• 그로버 코인 행렬 $G$ 를 사용해 $\mathbb{Z}^d$ 상의 시간 진동수 연산자 $U_G$ 를 정의하기 위해.
• 방향 이동을 분해하기 위해 투영 연산자 $P_{2i-1}, P_{2i}$ 를 적용하기 위해.
• 스펙트럼 매핑 정리와 대수적 제약 조건을 활용해 지지 크기의 상한을 유도하기 위해.
• $d=2$ 와 $d \geq 3$ 에 대해 최소 지지 크기를 갖는 정적 상태의 구체적 예를 구성하기 위해.
• 진폭 구성의 시간 진동수에 대한 불변성을 확인함으로써 지지 크기가 시간 진동수에 따라 변하지 않음을 검증하기 위해.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 이동 이동자 모델을 사용한 $\mathbb{Z}^d$ 상의 그로버 워크에서 정적 측정을 지지할 수 있는 격자 점의 최소 수는 얼마인가요?
• RQ2 플립플롭 이동자 모델을 사용한 $\mathbb{Z}^d$ 상의 그로버 워크에서 정적 측정을 지지할 수 있는 격자 점의 최소 수는 얼마인가요?
• RQ3 이동 이동자 모델을 사용한 1차원 그로버 워크에서 정적 측정에 대해 유한 지지가 존재합니까?
• RQ4 이전의 푸리에 분석 및 스펙트럼 매핑 접근 방식과 비교해 결과는 어떻게 다릅니까?

주요 결과

• 이동 이동자 모델을 사용한 $\mathbb{Z}^d$ 상의 그로버 워크에서 $d \geq 1$ 일 때 최소 지지 크기는 $2^d$ 이다.
• 플립플롭 이동자 모델을 사용한 $\mathbb{Z}^d$ 상의 그로버 워크에서 $d \geq 2$ 일 때 최소 지지 크기는 4이다.
• 이동 이동자 모델을 사용한 1차원 그로버 워크에서는 고유값 시스템에서 모순을 통해 증명함으로써 유한 지지가 존재하지 않음을 보였다.
• 플립플롭 이동자 모델 하에서 $d \geq 2$ 에 대해 정확히 4개의 비영이 아닌 성분을 갖는 정적 상태를 구성하였다.
• $d=2$ 와 $d \geq 3$ 에 대한 결과는 스티파노크 등과 히구치 등의 이전 결과를 일관되게 일반화하고 있다.
• 지지 크기가 정확히 4인 $\Psi^{(\lambda)}_\star$ 의 구성은 플립플롭 이동자 모델에 대해 상한의 날카로움을 확인한다.