[논문 리뷰] On the surjectivity of mod $\ell$ representations associated to elliptic curves

David Zywina|arXiv (Cornell University)|2015. 08. 31.

Algebraic Geometry and Number Theory참고 문헌 15인용 수 9

한 줄 요약

이 논문은 ℚ 위의 비-CM 타원곡선 E에 대한 mod ℓ Galois 표현 ρ_{E,ℓ}가 전사가 아닌 유한한 소수 ℓ의 집합을 결정하는 실용적인 알고리즘을 제시한다. 세르의 정리에 기반하여, 프로베누스 추적과 제곱상호법칙을 이용해 𝔽₂ 위의 선형방정식계를 구성함으로써 전사성의 장애를 식별한다; 핵심 결과는 계산된 유한한 집합에 속하지 않은 모든 ℓ에 대해 ρ_{E,ℓ}가 전사이며, 예외 집합에 대한 개선된 상한을 제공한다.

ABSTRACT

Let $E$ be an elliptic curve over the rationals that does not have complex multiplication. For each prime $\ell$, the action of the absolute Galois group on the $\ell$-torsion points of $E$ can be given in terms of a Galois representation $ρ_{E,\ell}\colon \operatorname{Gal}(\bar{\mathbb{Q}}/\mathbb{Q}) o GL_2(\mathbb{F}_\ell)$. An important theorem of Serre says that $ρ_{E,\ell}$ is surjective for all sufficiently large $\ell$. In this paper, we describe a simple algorithm based on Serre's proof that can quickly determine the finite set of primes $\ell$ for which $ρ_{E,\ell}$ is not surjective. We will also give some improved bounds for Serre's theorem.

연구 동기 및 목표

• 비-CM 타원곡선 E에 대해 ℚ 위에서 mod ℓ Galois 표현 ρ_{E,ℓ}가 전사가 되지 않는 소수 ℓ의 유한한 집합을 계산하는 실용적인 알고리즘을 제공하는 것.
• 세르의 정리에 기반하여, ρ_{E,ℓ}가 모든 ℓ > c(E) 에서 전사가 되는 최소 정수 c(E)에 대한 명시적이고 계산 가능한 상한을 제공함으로써 기존 결과를 개선하는 것.
• ρ_{E,ℓ}가 특정 유한한 집합 𝒮의 예외적 (ℓ, j_E) 쌍이 아닌 한 모든 ℓ > 13 에서 전사임을 주장하는 추측을 검증하고 강화하는 것.
• 타원곡선의 ℓ-나누기 다항식의 갈루아 군을 이용하여, 예외적인 유한한 소수 ℓ에 대해 전사성의 효율적 계산 검증을 가능하게 하는 것.

제안 방법

• ℓ ≤ 13, (ℓ, j_E) ∈ 𝒮, 및 Frobenius 추적 a_p(E)가 ℓ로 나누어떨어지는지 여부를 확인하여 소수 ℓ의 유한한 집합 S를 구성한다.
• j_E 또는 j_E − 1728에 대해 특정한 값을 가지는 정수 q_j를 선택하여, 초기 장애물 집합을 정의한다.
• Kodaira 기호가 I₀ 또는 I₀*인 소수 p_i를 선택하며, 이때 |a_p(E_p)| ≠ 0 이고 p_i가 2q₁⋯q_d를 나누지 않는 조건을 만족시킨다.
• 각 p_i에 대해 α_{i,j} = (1 − (q_j / p_i))/2 와 β_i = (1 − (−1 / p_i))/2 를 레지우드 기호를 사용하여 계산하여, 𝔽₂ 위에서 제곱잉여성의 성질을 모델링한다.
• α_{i,j}와 β_i 값으로부터 행렬 A_m 및 벡터 b_m를 구성하고, 𝔽₂ 위에서 선형계 A_m x = b_m를 풀어 전사성의 장애를 탐지한다.
• 시스템 A_r x = b_r 가 해를 가지지 않을 때까지 반복하며, 이 경우 집합 S는 모든 ℓ ≤ 13, (ℓ, j_E) ∈ 𝒮, 및 p ≤ p_r 인 모든 p에 대해 a_p(E)를 나누는 ℓ를 포함한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 주어진 비-CM 타원곡선 E에 대해, mod ℓ Galois 표현 ρ_{E,ℓ}가 전사가 되지 않는 유한한 소수 ℓ의 완전한 집합은 무엇인가?
• RQ2 적당히 큰 ℓ에 대해 ρ_{E,ℓ}가 전사임을 보장하는 세르의 정리가, 예외 집합에 대한 명시적이고 계산 가능한 상한을 제공함으로써 효과적으로 개선될 수 있는가?
• RQ3 모든 ℓ > 13 에 대해, (ℓ, j_E)가 특정한 j-불변량과 이소지 조건을 만족하는 예외 집합 𝒮에 속하지 않는 한 ρ_{E,ℓ}가 전사인가?
• RQ4 예외적인 유한한 소수 ℓ에 대해, ℓ-나누기 다항식의 갈루아 군을 이용하여 ρ_{E,ℓ}의 전사성을 효율적으로 테스트할 수 있는가?

주요 결과

• 알고리즘은 ρ_{E,ℓ}가 모든 ℓ ∉ S 에서 전사가 되는 유한한 집합 S를 계산하며, S는 E의 j-불변량과 Frobenius 추적에만 의존한다.
• 크레모나 데이터베이스(행렬 ≤ 500000)에 포함된 모든 비-CM 타원곡선 E에 대해, 알고리즘이 S에 속하지 않은 모든 ℓ > 13 에서 ρ_{E,ℓ}가 전사임을 검증하여 추측 1.1를 지지한다.
• 알고리즘은 ρ_{E,ℓ}가 전사가 되지 않는 경우 뿐만 아니라, 𝒮의 유한성과 Frobenius 추적 a_p(E)의 0이 아닌 성질에 의해 S가 유한함을 확인한다.
• c(E)에 대한 개선된 상한을 확보함: 모든 E에 대해, (ℓ, j_E) ∈ 𝒮 이거나 ℓ ≤ 13 가 아닌 한 모든 ℓ > 13 에서 ρ_{E,ℓ}가 전사이며, ℓ ≤ 13 는 명시적으로 확인된다.
• ℓ ≥ 5 인 경우, ρ_{E,ℓ^∞}가 전사가 되지 않음과 ρ_{E,ℓ}가 전사가 되지 않음은 동치이며, 이는 ℓ-아디크 전사성의 연구를 단순화한다.
• Magma로 작성된 코드는 비-CM 타원곡선 E에 대해 S를 효율적으로 계산하며, 유효성 조건과 𝔽₂ 위에서의 선형대수를 활용하여 장애를 탐지한다.