[논문 리뷰] On the Symmetries of and Equivalence Test for Design Polynomials

Jesko Hüttenhain|arXiv (Cornell University)|2016. 07. 28.

Advanced Differential Equations and Dynamical Systems참고 문헌 6인용 수 1

한 줄 요약

이 논문은 복소수 n개의 변수에 대한 r번째 기본 대칭 다항식의 전체 안정자군을 2 < r < n 인 경우에 대해 규명하며, 이 군이 대칭군 $S_n$과 r차 단위근의 순환군 $ℤ_r$의 반직접곱과 동형임을 증명한다. 안정자군은 변수의 치환과 동시에 r차 단위근으로의 스케일링 외에는 추가적인 선형 대칭이 없으며, 기하학적 복잡도 이론에서 기본적인 갭을 메우는 결과이다.

ABSTRACT

In a Nisan-Wigderson design polynomial (in short, a design polynomial), every pair of monomials share a few common variables. A useful example of such a polynomial, introduced in [Neeraj Kayal et al., 2014], is the following: NW_{d,k}({x}) = sum_{h in F_d[z], deg(h) <= k}{ prod_{i=0}^{d-1}{x_{i, h(i)}}}, where d is a prime, F_d is the finite field with d elements, and k << d. The degree of the gcd of every pair of monomials in NW_{d,k} is at most k. For concreteness, we fix k = ceil[sqrt{d}]. The family of polynomials NW := {NW_{d,k} : d is a prime} and close variants of it have been used as hard explicit polynomial families in several recent arithmetic circuit lower bound proofs. But, unlike the permanent, very little is known about the various structural and algorithmic/complexity aspects of NW beyond the fact that NW in VNP. Is NW_{d,k} characterized by its symmetries? Is it circuit-testable, i.e., given a circuit C can we check efficiently if C computes NW_{d,k}? What is the complexity of equivalence test for NW, i.e., given black-box access to a f in F[{x}], can we check efficiently if there exists an invertible linear transformation A such that f = NW_{d,k}(A * {x})? Characterization of polynomials by their symmetries plays a central role in the geometric complexity theory program. Here, we answer the first two questions and partially answer the third. We show that NW_{d,k} is characterized by its group of symmetries over C, but not over R. We also show that NW_{d,k} is characterized by circuit identities which implies that NW_{d,k} is circuit-testable in randomized polynomial time. As another application of this characterization, we obtain the "flip theorem" for NW. We give an efficient equivalence test for NW in the case where the transformation A is a block-diagonal permutation-scaling matrix. The design of this algorithm is facilitated by an almost complete understanding of the group of symmetries of NW_{d,k}: We show that if A is in the group of symmetries of NW_{d,k} then A = D * P, where D and P are diagonal and permutation matrices respectively. This is proved by completely characterizing the Lie algebra of NW_{d,k}, and using an interplay between the Hessian of NW_{d,k} and the evaluation dimension.

연구 동기 및 목표

• 복소수 n개의 변수에 대한 r번째 기본 대칭 다항식의 전체 안정자군을 $2 < r < n$ 인 경우에 대해 규명하는 것.
• 기하학적 복잡도 이론(GCT)의 기본적인 갭을 메우기 위해 $\mathrm{ESPr}$를 보존하는 대칭을 명시적으로 규명하는 것.
• $\mathrm{ESPr}$를 보존하는 유일한 선형 변환은 변수의 치환과 동시에 r차 단위근으로의 스케일링임을 증명하는 것.
• $\mathrm{ESPr}$의 궤도 폐쇄의 좌표환에서의 무게들을 분석하여, 이들이 $\{\lambda \in \Lambda \mid \lambda_1 + \cdots + \lambda_n \in r\mathbb{Z}\}$ 라는 격자를 생성함을 보이는 것.

제안 방법

• $\mathrm{GL}_n$ 이 다항식 환 $\mathbb{C}[X_1, \dots, X_n]$ 위에 작용하는 방식을 이용하여, $\mathrm{ESPr} \circ h = \mathrm{ESPr}$ 를 만족하는 행렬 $h$ 의 집합으로서 안정자군 $H_r$ 을 정의한다.
• $f_{a,b}(X) = \mathrm{ESPr}(Xa + b)$ 를 통한 다항식 차수 분석을 통해, 모든 $b$ 에 대해 $\deg(f_{a,b}) \leq 1$ 이 되는 것과 $\rho(a) \leq 1$ 이 되는 것이 동치임을 증명한다. 여기서 $\rho(a)$ 는 $a$ 에서 0이 아닌 성분의 수를 세는 함수이다.
• 기본 대칭다항식 $\mathrm{ESP}_k$ 에 대한 조합론적 추론을 통해, 영이 되는 조건이 $a$ 가 최대 하나의 비영성분만 가질 것을 강제함으로써 가능한 대칭의 범위를 제한한다.
• 특히 $\mathrm{GL}_n$ 의 표현 이론, 특히 대수적 Peter-Weyl 정리와 무게 공간 분해를 활용하여 궤도 폐쇄의 좌표환을 분석한다.
• $\mathrm{Sym}^r \mathbb{C}^n$ 과 임의의 기약 표현 $V(\lambda)$ 에서 $H_r$-불변 벡터를 규명하며, $V(\lambda)^{H_r} \neq \{0\}$ 이 되기 위한 조건이 $\lambda_1 + \cdots + \lambda_n \in r\mathbb{Z}$ 라는 것을 보인다.
• $\mathrm{Sym}^r \mathbb{C}^n$ 과 각 $i$ 에 대해 $\lambda_i = (\ell_i, 1, \dots, 1, 0, \dots, 0)$ 이며 $\ell_i = r \cdot n(n+1)/2 - i$ 인 $V(\lambda_i)$ 에서의 명시적 $H_r$-불변 벡터를 구성함으로써, 필요한 무게 격자를 생성함을 증명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 2 < r < n 인 경우, r번째 기본 대칭다항식 $\mathrm{ESPr}$ 를 보존하는 선형변환의 전체 군은 무엇인가?
• RQ2 $\mathrm{ESPr}$ 의 선형 대칭은 변수의 치환과 동시에 r차 단위근으로의 스케일링 외에 더 있을까?
• RQ3 $\mathrm{ESPr}$ 의 궤도 폐쇄의 좌표환에 나타나는 무게들은 안정자군 $H_r$ 과 어떻게 관련이 있는가?
• RQ4 안정자군의 구조에 기반하여 궤도 폐쇄의 무게 격자를 완전히 특징지을 수 있는가?

주요 결과

• $\mathrm{ESPr}$ 의 안정자군 $H_r$ 은 $S_n \rtimes \mathbb{Z}_r$ 와 동형이며, 여기서 $S_n$ 은 치환 행렬을 통해, $\mathbb{Z}_r$ 은 r차 단위근을 성분으로 갖는 스칼라 행렬을 통해 작용한다.
• $S_n \rtimes \mathbb{Z}_r$ 에 속하지 않는 다른 선형 변환은 $\mathrm{ESPr}$ 를 보존하지 않으며, 이는 군이 대칭의 측면에서 최대임을 증명한다.
• $\mathbb{C}[\Omega]$ 의 좌표환에서 나타나는 무게들은 $\{\lambda \in \Lambda \mid \lambda_1 + \cdots + \lambda_n \in r\mathbb{Z}\}$ 라는 격자를 생성한다.
• $e_i^r \in \mathrm{Sym}^r \mathbb{C}^n$ 는 각 $i$ 에 대해 $H_r$-불변이므로, 안정자군이 $ℤ_r$ 의 스칼라 작용을 포함하고 있음을 확인한다.
• $i = 1, \dots, n-1$ 에 대해, $\lambda_i = (\ell_i, 1, \dots, 1, 0, \dots, 0)$, $\ell_i = r \cdot n(n+1)/2 - i$ 인 기약 표현 $V(\lambda_i)$ 는 0이 아닌 $H_r$-불변 벡터를 가진다.
• 무게 격자는 첫 번째 열 $(r, 0, \dots, 0)$ 과 $n-1$ 개의 열 $(\ell_1, 1, \dots, 1), \dots, (\ell_{n-1}, 1, \dots, 1)$ 으로 생성되며, 이는 $\widetilde{\Lambda}_r = \Lambda_r$ 임을 확인한다.