[논문 리뷰] On the Systematic Constructions of Rotation Symmetric Bent Functions with Any Possible Algebraic Degrees

Sihong Su, Xiaohu Tang|arXiv (Cornell University)|2015. 05. 12.

Coding theory and cryptography참고 문헌 14인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 임의의 짝수 $n = 2m \geq 2$ 에 대해 $n$-변수 순환 대칭 벤트 함수의 체계적인 구성법을 제시한다. 이 방법은 2부터 $m$까지 임의의 대수적 차수를 달성할 수 있으며, 이는 $n \geq 10$ 인 경우 4를 초월하는 차수를 가진 첫 번째 구성법이다. 기저 함수로 사용되는 이차 순환 대칭 벤트 함수 $f_0$ 의 지지 집합을 수정함으로써, 궤도 기반 다항식 덧셈을 통해 임의로 제어 가능한 대수적 차수를 가진 벤트 함수를 생성한다.

ABSTRACT

In the literature, few constructions of $n$-variable rotation symmetric bent functions have been presented, which either have restriction on $n$ or have algebraic degree no more than $4$. In this paper, for any even integer $n=2m\ge2$, a first systemic construction of $n$-variable rotation symmetric bent functions, with any possible algebraic degrees ranging from $2$ to $m$, is proposed.

연구 동기 및 목표

• 대수적 차수가 4를 초월하는 순환 대칭 벤트 함수에 대한 체계적 구성법이 부족한 문제를 해결하기 위해.
• 짝수 $n = 2m$ 에 대해 대수적 차수 $m$ 이하의 임의의 차수를 가진 순환 대칭 벤트 함수를 구성하는 열린 문제를 해결하기 위해.
• 이전의 구성법이 차수 ≤4 또는 특정 $n$ 에서만 제한되던 것과 달리, 일반적이고 융통성 있는 방법을 제공하기 위해.
• 벤트성과 대수적 차수 제어의 이론적 증명을 통해 구성의 타당성을 검증하기 위해.

제안 방법

• 기본 함수로 이차 순환 대칭 벤트 함수 $f_0(x) = \bigoplus_{i=0}^{m-1} x_i x_{m+i}$ 를 사용한다.
• 벡터 $\delta \in \mathbb{F}_2^m$ 에 대해 순환 이동에 의한 궤도 $O_m(\delta)$ 를 고려하여, 형태 $\bigoplus_{\beta'+\beta'' \in O_m(\delta)} x^\beta$ 의 항을 추가함으로써 새로운 벤트 함수를 구성한다.
• 벡터 $\mathbb{F}_2^m$ 의 궤도 구조를 활용하여 대칭적이고 고차수의 항을 시스템적으로 생성한다.
• 결과 함수가 여전히 벤트 함수임을 확인하기 위해 월리쉬 변환과 루카스의 공식을 사용한다.
• 대수적 차수는 $\delta$ 의 해밍 무게에 의해 제어되며, $\deg(f) = \mathrm{wt}(\delta)$ 로 표현된다.
• 임의의 비어 있지 않은 부분집합 $A \subseteq \mathbf{R}_m$ 을 선택함으로써 융통성 있는 구성이 가능해지며, 이에 따라 $f = f_0 \oplus \bigoplus_{\delta \in A} \left( \bigoplus_{\beta'+\beta'' \in O_m(\delta)} x^\beta \right)$ 이 된다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 임의의 짝수 $n = 2m$ 에 대해 대수적 차수 2에서 $m$ 까지의 임의의 차수를 가지는 $n$-변수 순환 대칭 벤트 함수를 체계적으로 구성할 수 있는가?
• RQ2 일반적이고 궤도 기반의 방법을 통해 대수적 차수가 4를 초월하는 순환 대칭 벤트 함수를 구성할 수 있는가?
• RQ3 기저 이차 벤트 함수 $f_0$ 의 지지 집합 수정을 어떻게 형식화할 수 있을까? 이는 벤트성을 유지하면서 대수적 차수를 제어하기 위함이다.
• RQ4 이러한 수정에서 벤트 성질을 보장하기 위해 궤도 구조와 벡터 커버링 관계는 어떤 역할을 하는가?

주요 결과

• 제안된 구성법은 임의의 짝수 $n = 2m \geq 2$ 에 대해 $n$-변수 순환 대칭 벤트 함수를 생성하며, 이는 이전의 $n$ 에 대한 제약 조건을 초월한다.
• 이 방법은 2에서 $m$ 까지의 임의의 대수적 차수를 달성할 수 있으며, $\deg(f) = \mathrm{wt}(\delta)$ 로 표현되며, $\delta$ 는 추가되는 항을 제어한다.
• $n \geq 10$ 인 경우, 이는 대수적 차수가 4를 초월하는 순환 대칭 벤트 함수를 구성하는 최초의 방법이다.
• 벤트성은 월리쉬 변환과 궤도 기반 분해를 통해 증명되며, 이는 이차 모듈로의 이항계수에 대한 루카스의 공식에 기반한다.
• 이 구성법은 이전 결과를 일반화하며, $\mathrm{wt}(\delta) = 3$ 일 때 [3] 및 [6]의 삼차 벤트 함수를 특수한 경우로 포함한다.
• 전체 차수 $m$ 을 가진 벤트 함수의 클래스는 $\Gamma_i^{(m)}$ 를 통해 구성되며, $f = f_0 \oplus \bigoplus_{j \succeq i} \bigoplus_{\mathrm{wt}(\alpha)=j, \alpha' * \alpha'' = 0} x^\alpha$ 로 표현되며, 이에 따라 $\deg(f) = m$ 이다.