[논문 리뷰] On the theory of canonical perturbations and its application to Earth rotation

Michael Efroimsky|arXiv (Cornell University)|2004. 09. 13.

Geophysics and Sensor Technology참고 문헌 9인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 지구 자전에 적용된 정준 섭동 이론에서 심각한 결함을 규명한다: 속도에 의존하는 섭동은 자전 운동을 기술하는 데 사용되는 Andoyer 요소들을 비-오스큘레이팅 상태로 만들며, 이는 그들의 물리적 해석 가능성에 심각한 영향을 미친다. 본 연구는 오스큘레이션을 유지하기 위해 정준 방정식을 기각해야 하며, Kinoshita-Souchay 이론은 이와는 달리 비정준적이지만 관성 기준좌표계에서의 각속도를 정확히 계산함을 보여준다.

ABSTRACT

Both orbital and rotational dynamics employ the method of variation of parameters. We express, in a non-perturbed setting, the coordinates (Cartesian, in the orbital case, or Eulerian in the rotation case) via the time and six adjustable constants called elements (orbital elements or rotational elements). If, under disturbance, we use this expression as ansatz and endow the "constants" with time dependence, then the perturbed velocity (Cartesian or angular) will consist of a partial derivative with respect to time and a so-called convective term, one that includes the time derivatives of the variable "constants." Out of sheer convenience, the so-called Lagrange constraint is often imposed. It nullifies the convective term and, thereby, guarantees that the functional dependence of the velocity upon the time and "constants" stays, under perturbation, the same as it used to be in the undisturbed setting. When the dynamical equations, written in terms of the "constants," are demanded to be symplectic (and the "constants" make conjugated pairs $ Q, P$), these "constants" are called Delaunay elements, in the orbital case, or Andoyer elements, in the rotational case. The Andoyer and Delaunay sets of elements share a feature not visible with a naked eye: in certain cases, the standard equations render these elements non-osculating. Hence, even though the Andoyer variables in the Kinoshita-Souchay theory are introduced in a precessing frame of the Earth orbit, they nevertheless return the angular velocity relative to an inertial frame.

연구 동기 및 목표

• 정준 섭동 이론을 사용할 경우 지구 자전 운동의 정확도에 영향을 주는 원인을 규명하는 것.
• 속도에 의존하는 섭동 하에서 오스큘레이팅 요소를 유지하고 정준 방정식을 보존하는 데 갈등이 발생하는 이유를 명확히 하는 것.
• 비오스큘레이팅 요소를 사용하고도 관성 기준좌표계에서의 각속도를 물리적으로 정확하게 계산할 수 있는 Kinoshita-Souchay 이론의 이유를 설명하는 것.
• 비오스큘레이팅 요소가 순순한 자전축의 방향을 직접적으로 표현하지 못함을 보여주는 것.
• 오스큘레이션을 복원하기 위해 동역학 방정식을 수정하는 프레임워크를 제공함으로써 정준성의 손실를 감수하는 것.

제안 방법

• Andoyer 변수를 정준 쌍(Q, P)으로 사용하여 궤도역학의 Delaunay 요소와 유사하게 자전 운동을 수식화하는 것.
• 시간 도함수와 요소에 의존하는 함수의 도함수의 합으로 섭동된 각속도를 유도하는 것.
• Lagrange 조건을 적용하여 비선형 항을 제거함으로써 오스큘레이팅 요소를 정의하는 것.
• 속도에 의존하는 섭동(비관성 기준좌표계에서 기인하는 것 등)은 해밀토니안만 수정하는 것으로는 완전히 보상될 수 없음을 규명하는 것.
• 오스큘레이션을 복원하기 위해 동역학 방정식에 추가 항을 추가해야 하며, 이는 그들의 심플렉틱(정준) 구조를 파괴한다는 것을 보여주는 것.
• 구성 변수의 시간 도함수와 요소에 의존하는 함수의 편도함수 간의 관계를 이용하여 정확한 각속도 표현식을 도출하는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 왜 속도에 의존하는 섭동 하에서 Andoyer 요소들이 자전 운동에서 비오스큘레이팅 상태가 되는가?
• RQ2 비오스큘레이팅 요소를 사용할 경우 순순한 자전축의 방향 예측에 어떤 물리적 영향을 미치는가?
• RQ3 비오스큘레이팅 요소를 사용하고도 관성 기준좌표계에서의 각속도를 정확하게 예측할 수 있는가? Kinoshita-Souchay 이론은 여전히 정확한 결과를 도출하는가?
• RQ4 속도에 의존하는 섭동이 존재할 경우 오스큘레이션과 정준성을 동시에 유지하는 것이 가능한가?
• RQ5 오스큘레이션의 상실이 행성 자전 모델의 자전 요소에 대한 해석에 어떤 영향을 미치는가?

주요 결과

• 비관성 기준좌표계에서 기인하는 속도에 의존하는 섭동은 Andoyer 요소들을 비오스큘레이팅 상태로 만들며, 이는 실제 궤적과 접선을 이루지 않음을 의미한다.
• 비오스큘레이팅 요소는 순순한 자전축의 물리적 방향을 정확히 표현하지 못하여 자전축 운동의 오해를 초래한다.
• Kinoshita-Souchay 이론은 전진 기준좌표계에서의 각속도를 계산하며, 이는 비오스큘레이팅 요소를 사용하고 있음에도 불구하고 유리한 점이다.
• Kinoshita-Souchay 이론의 표준 방정식을 통해 계산된 각속도는 비오스큘레이팅 요소임에도 불구하고 정확하고 직접 측정 가능한 값이다.
• 속도에 의존하는 섭동 하에서 오스큘레이션을 복원하기 위해서는 해밀토니안을 초월해 동역학 방정식을 수정해야 하며, 이는 그들의 정준(심플렉틱) 구조를 파괴한다.
• 궤도역학의 경우에도 동일한 갈등이 존재한다: 속도에 의존하는 섭동은 표준 행성 방정식을 비오스큘레이팅 상태로 만들며, 이를 보완하기 위해 외부의 항이 추가되어야 한다.