[논문 리뷰] On the third moment of $L( frac{1}{2}, \chi_d)$ II: the number field case

Adrian Diaconu, Ian Whitehead|arXiv (Cornell University)|2018. 04. 02.

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한 줄 요약

이 논문은 수체계 설정에서 이차 딜리클레 L함수의 중심 임계값에서 세 번째 모멘트에 대한 매끄러운 渐近 공식을 수립한다. 다중 딜리클레 급수의 유리형 계속성과 D4 근계열에 관련된 함수방정식을 사용하여, 크기 $x^{3/4}$인 보조 항이 존재함을 증명하고, $s = 3/4$에서의 정확한 잔여치를 계산하며, 임의의 $ olde > 0$에 대해 $O(x^{2/3 + olde})$ 정도의 오차항을 확보함으로써, L함수의 모멘트에서 보조 항에 대한 오랫동안 제기된 추측을 확인한다.

ABSTRACT

We establish a smoothed asymptotic formula for the third moment of quadratic {D}irichlet $L$-functions at the central value. In addition to the main term, which is known, we prove the existence of a secondary term of size $x^{\frac{3}{4}}$. The error term in the asymptotic formula is on the order of $O(x^{\frac{2}{3}+\delta})$ for every $\delta > 0.$

연구 동기 및 목표

• 수체계에서 기본 판별식에 대해 중심값 $L(\frac{1}{2}, \chi_d)$의 세 번째 모멘트에 대한 매끄러운 渐近 공식을 수립하는 것.
• 이전에 추측되었지만 엄밀하게 증명되지 않았던, 渐近 전개에서 크기 $x^{3/4}$인 보조 항의 존재를 증명하는 것.
• 생성 급수 $Z_0(s)$의 유리형 계속성에서 $s = 3/4$에서의 정확한 잔여치를 계산하여 보조 항의 핵심 요소를 해결하는 것.
• D4의 웨일 군에 동형인 기능방정식을 가진 다중 딜리클레 급수의 프레임워크를 확장하여 고차 모멘트와 그 보조 항을 분석하는 것.
• 유리형 계속성과 다항식 성장에 대한 이전의 가정을 제거함으로써, 더 약한 가정 하에 결과를 조건 없이 확립하는 것.

제안 방법

• 저자들은 $d$를 나누는 소수에서 수정된 오일러 인자들을 가진 네 변수 다중 딜리클레 급수 $Z(s_1,s_2,s_3,s_4; \chi_{a_2c^2}, \chi_{a_1c^1})$를 정의하고, 이 급수가 D4 근계열의 웨일 군에 동형인 기능방정식을 만족함을 보인다.
• 보흐너의 원리를 사용하여 이 급수의 $\mathbb{C}^4$로의 유리형 계속성을 확보하고, $Z(\frac{1}{2}, \frac{1}{2}, \frac{1}{2}, s)$가 $s = \frac{3}{4}$에서 단순극을 가짐을 유도한다.
• 급수 $Z_0(s)$는 이 대상의 이차 스위치로 얻어지며, 스펙트럼 분해와 수렴 추정을 통해 $\Re(s) > \frac{2}{3}$에서의 유리형 계속성을 확립한다.
• $s = \frac{3}{4}$에서의 잔여치는 홀수 소수에서의 오일러 인자 분해를 통해 계산되며, $p \neq 2$에 대해 $p^{-1/2}$의 유리함수 곱으로 표현되며, 이는 $P(p^{-1/2})$로 단순화된다.
• 매스터 변환 공식을 매끄러운 합 $\sum_d L(\frac{1}{2}, \chi_{2d})^3 W(d/x)$에 적용하고, 적분선을 $\Re(s) = \frac{2}{3} + \delta$로 이동하여 주항 및 보조항을 추출한다.
• 매스터 변환 $\hat{W}(s)$의 추정과 $Z_0(s)$의 수직 스트립 내 성장 추정을 사용하여 오차항을 제어하며, 이는 $O(x^{2/3 + \delta})$임을 보인다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 매끄러운 이차 딜리클레 L함수의 중심점에서 세 번째 모멘트에 크기 $x^{3/4}$인 보조 항이 존재하는가?
• RQ2 $s = \frac{3}{4}$에서 생성 급수 $Z_0(s)$의 정확한 잔여치는 무엇이며, 홀수 소수의 산술과 어떻게 관련되는가?
• RQ3 유리형 계속성 또는 다항식 성장에 대한 가정 없이도 이러한 보조 항의 존재를 조건 없이 증명할 수 있는가?
• RQ4 D4 대칭성을 가진 다중 딜리클레 급수의 기능방정식은 고차 모멘트에서 보조 항이 나타나는 것을 어떻게 설명하는가?
• RQ5 $x^{3/4}$에서의 보조 항은 고차 모멘트의 일반적 특성이며, 군론적 구조에서 예측 가능한가?

주요 결과

• 생성 급수 $Z_0(s)$는 $\Re(s) > \frac{2}{3}$로의 유리형 계속성을 가지며, $s = 1$에서 차수 7의 극과 $s = \frac{3}{4}$에서 단순극을 가진다.
• $s = \frac{3}{4}$에서의 잔여치는 $\frac{9}{256\pi^2} \cdot \frac{1}{4}(-181 + 128\sqrt{2}) \Gamma(\frac{1}{4})^4 \zeta(\frac{1}{2})^7 \cdot \prod_{p \neq 2} P(p^{-1/2})$로 계산되며, $P(p^{-1/2})$는 명시적으로 주어진다.
• 매끄러운 세 번째 모멘트는 임의의 $ olde > 0$에 대해 \sum_{d^*} L(\frac{1}{2}, \chi_{2d})^3 W(d/x) = x Q_W(\log x) + \mathrm{Res}_{s=3/4} Z_0(s) \cdot \hat{W}(3/4) x^{3/4} + O_{\delta}(x^{2/3 + \delta}) 를 만족한다.
• 오차항은 $O_{\delta}(x^{2/3 + \delta})$이며, 이는 이전까지의 최선의 bound인 $O(x^{3/4 + \varepsilon})$보다 향상된 것이다.
• 보조 항은 조건 없이 확인되었으며, 잔여치는 더 약한 가정 하에서 장(2016)의 예측과 일치하며, 홀수 소수에 대한 곱에서 완전한 일치를 보였다.
• 결과는 크기 $x^{3/4}$인 보조 항이 D4 기능방정식의 구조에서 유래하며, 다중 딜리클레 급수 구성의 부산물이 아니라는 것을 확인한다.