[논문 리뷰] On the Time Dependent Gross Pitaevskii- and Hartree Equation

Peter Pickl|ArXiv.org|2008. 08. 08.

Cold Atom Physics and Bose-Einstein Condensates참고 문헌 6인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 시간에 따라 변하는 외부 퍼텐셜을 가진 상호작용하는 보스론 N체 양자 시스템에서 시간에 따라 변하는 고르스-피타에프스키 및 하트리 방정식을 효과적인 평균장 근사로 엄밀하게 유도한다. 상호작용 범위와 결합 강도의 적절한 스케일링 하에, 응축 상태가 비선형 방정식에 의해 지배되는 응축 상태로 진화하며, 상호작용 스케일링 매개변수 β에 따라 달라지며, 입자 밀도 행렬과 시간에 관계없이 일관된 수렴 조건을 만족함을 증명한다.

ABSTRACT

We are interested in solutions $Ψ_t$ of the Schrödinger equation of $N$ interacting bosons under the influence of a time dependent external field, where the range and the coupling constant of the interaction scale with $N$ in such a way, that the interaction energy per particle stays more or less constant. Let $\mathcal{N}^{ϕ_0}$ be the particle number operator with respect to some $ϕ_0\in L^2(\mathbb{R}^3 o\mathbb{C})$. Assume that the relative particle number of the initial wave function $N^{-1}< Ψ_0,\mathcal{N}^{ϕ_0}Ψ_0>$ converges to one as $N o\infty$. We shall show that we can find a $ϕ_t\in L^2(\mathbb{R}^3 o\mathbb{C})$ such that $\lim_{N o\infty}N^{-1}< Ψ_t,\mathcal{N}^{ϕ_t}Ψ_t>=1$ and that $ϕ_t$ is -- dependent of the scaling of the range of the interaction -- solution of the Gross-Pitaevskii or Hartree equation. We shall also show that under additional decay conditions of $ϕ_t$ the limit can be taken uniform in $t

연구 동기 및 목표

• 시간에 따라 변하는 외부 퍼텐셜 하에서 상호작용하는 보스론 대규모 시스템에 대해 효과적인 시간에 따라 변하는 평균장 방정식(Gross-Pitaevskii 또는 하트리)을 도출하기 위해.
• N → ∞일 때 매 입자당 상호작용 에너지가 일정하게 유지되도록 상호작용 퍼텐셜의 스케일링 행동을 분석하기 위해.
• 초기 시간에 응축 상태가 후속 시간에 응축 상태로 진화하며, 응축 상태 파동함수는 비선형 슈뢰딩거 방정식을 만족함을 증명하기 위해.
• 응축 상태 파동함수에 대한 쇄도 조건 하에 상대적 입자 수와 k-입자 밀도 행렬의 시간에 관계없이 일관된 수렴을 확립하기 위해.
• 이전 결과를 일반화하기 위해 시간에 따라 변하는 외부 퍼텐셜과 초기 파동함수에 대한 더 약한 가정, 특히 β = 1일 때 하드코어 상호작용을 포함하기 위해.

제안 방법

• 포크 공간에서 입자 수 연산자와 응축 상태 사영을 정의하기 위해 프로젝터 형식을 사용한다.
• 감소된 밀도 행렬에 대한 계층 방정식을 적용하고, 에너지 방법과 교환자 전개를 통해 추정치를 도출한다.
• 특히 산란 길이와 그가 N 및 β에 따라 어떻게 스케일링되는지에 중점을 두고 상호작용 퍼텐셜의 미세한 분석을 수행한다.
• 에너지 추정치에서 오차 항을 제어하기 위해 부분 적분과 대칭성 원리를 사용한다.
• 응축 상태 파동함수를 포함하는 수정된 에너지 함수를 도입하여 시스템의 진화를 추적한다.
• 진짜 N체 상태와 사영된 응축 상태 상태 간의 차이를 유한하게 제한함으로써 k-입자 밀도 행렬의 수렴을 확립한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 보스론의 N체 슈뢰딩거 방정식이 평균장 방정식으로 수렴하기 위해 상호작용 범위와 결합 강도를 어떻게 스케일링해야 하는가?
• RQ2 효과적인 평균장 퍼텐셜은 상호작용 스케일링 매개변수 β에 어떻게 의존하는가? 그리고 다양한 영역(β < 0, β = 0, 0 < β ≤ 1, β > 1)에서 어떤 방정식이 유도되는가?
• RQ3 응축 상태 성질은 시간에 따라 유지될 수 있는가? 그리고 N → ∞의 극한에서 응축 상태 파동함수는 비선형 슈뢰딩거 방정식을 만족하는가?
• RQ4 상대적 입자 수와 밀도 행렬의 시간에 관계없이 일관된 수렴을 보장하기 위한 조건은 무엇인가?
• RQ5 결과는 시간에 따라 변하는 외부 퍼텐셜과 하드코어 상호작용으로 어떻게 일반화될 수 있는가?

주요 결과

• β < 0일 경우, N → ∞ 근처에서 상호작용이 무시 가능해지며, 응축 상태 파동함수의 진화는 평균장 퍼텐셜이 없는 자유 슈뢰딩거 방정식에 따라 일어난다.
• β = 0일 경우, 평균장 퍼텐셜은 Vφt = v * |φt|²로 주어지며, 이는 하트리 방정식을 이끈다.
• 0 < β ≤ 1일 경우, 평균장 퍼텐셜은 |φt|²에 비례하며, 스케일링된 퍼텐셜의 산란 길이에 따라 계수에 의존한다. 이는 고르스-피타에프스키 방정식을 이끈다.
• β > 1일 경우, N → ∞일 때 산란 길이가 0으로 수렴하므로 상호작용이 무시 가능해지며, 평균장 퍼텐셜은 0이 된다.
• 응축 상태 파동함수 φt에 대한 쇄도 조건 하에, 상대적 입자 수가 R⁺ 전역에서 시간에 관계없이 일관되게 1로 수렴한다.
• N → ∞의 극한에서 Ψt의 k-입자 밀도 행렬이 응축 상태의 해당 사영으로 수렴함이 입증되었다.