[논문 리뷰] On the Topology of Kac-Moody groups

Nitya R. Kitchloo|arXiv (Cornell University)|2008. 10. 05.

Algebraic structures and combinatorial models참고 문헌 15인용 수 17

한 줄 요약

이 논문은 Kac-Moody 군의 위상수학적 구조를 그들의 치우친 부분군을 통해, 약한 위상군의 범주에서 컴팩트 리 군들의 코초한 극한(colimit)으로서 나타내어, Kac-Moody 군의 분류 공간(classifying space)이 CW 복합체의 위상형과 동치임을 증명한다. 또한 스티너드 대칭군 작용과 호프 대수 성질을 포함한 코homological 구조를 개발하여, 이들 무한차원 리 군 유사군을 연구하는 데 기초적인 도구를 제공한다.

ABSTRACT

We study the topology of spaces related to Kac-Moody groups. Given a split Kac-Moody group over the complex numbers, let K denote the unitary form with maximal torus T having normalizer N(T). In this article we study the cohomology of the flag manifold K/T, as a module over the Nil-Hecke ring, as well as the (co)homology of K as a Hopf algebra. In particular, if F is a field of positive characteristic, we show that H_*(K,F) is a finitely generated algebra, and that H^*(K,F) is finitely generated only if K is a compact Lie group . We also study the stable homotopy type of the classifying space BK and show that it is a retract of the classifying space BN(T). We illustrate our results with the example of rank two Kac-Moody groups.

연구 동기 및 목표

• Kac-Moody 군의 위상수학적 구조를 위상군의 범주에서 컴팩트 리 군들의 코초한 극한으로서 설정하는 것.
• 양의 특성을 가진 체 위에서 Kac-Moody 군과 그 플라그 다양체의 코homology 및 위상형을 분석하는 것.
• Kac-Moody 군의 분류 공간이 최대 토러스의 정규화군의 분류 공간의 리트랙트임을 증명하는 것.
• 이전에 발표되지 않았거나 더 약한 일반성에서만 기술된, 많은 호모로지적 구조 정리에 대해 독립적인 증명을 제공하는 것.
• K의 세포 복합체 구조를 활용하여, 분류 공간 BK가 CW 복합체의 위상형을 가짐을 보이는 것.

제안 방법

• 일반화된 카르탕 행렬과 하리시-찬드라-세라 관계를 사용하여, 복소수 위에서 분할 Kac-Moody 군의 유니터리 형태로서 Kac-Moody 군을 구성하는 것.
• 웨일 군 작용과 슈베르트 세포 분해를 통해, T-세포의 연속적 첨가를 통해 K를 T-CW 복합체로 구축하는 것.
• 안정 전이 이론을 적용하여, 분류 공간 BK와 BN(T) 사이의 관계를 설정하여, BK 가 BN(T) 의 리트랙트임을 보이는 것.
• 집합 S(A)의 부분순서집합(poset) 위에서의 코초한 극한 구조를 활용하여 K의 위상을 정의하고, 치우친 부분군으로의 제한을 통해 군 준동형의 연속성을 확보하는 것.
• 스티너드 대칭군과 니르 헤이크 링을 사용하여 K와 K/T의 코homology를 분석하고, 모듈러 및 호프 대수 구조를 설정하는 것.
• K의 세포 복합체 모델을 활용하여, 그 분류 공간 BK 가 세포 복합체들의 코초한 극한임을 보이고, 따라서 위상형으로서 CW 복합체와 동치임을 증명하는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 Kac-Moody 군의 위상수학적 구조는 그들의 치우친 부분군과 웨일 군 작용을 통해 어떻게 기술될 수 있는가?
• RQ2 Kac-Moody 군의 분류 공간 BK 의 위상형은 무엇인가?
• RQ3 스티너드 대칭군 Ap 위에서 모듈러로 작용하는 H*(K) 및 H*(K/T) 의 코homology 링은 어떻게 행동하는가?
• RQ4 H*(K) 의 호프 대수 구조와 H*(K) 의 링 구조는 무엇인가?
• RQ5 K의 세포 복합체 구조를 활용하여, 분류 공간 BK 가 CW 복합체의 위상형을 가짐을 보일 수 있는가?

주요 결과

• Kac-Moody 군은 위상군의 범주에서 그들의 치우친 부분군 KJ 의 코초한 극한(colimit)과 위상형으로 동치임이 입증되었다.
• 분류 공간 BK 는 최대 토러스 T 의 정규화군의 분류 공간 BN(T) 의 리트랙트이다.
• BK 는 유한형의 세포 복합체들의 코초한 극한이므로, 세포 포함 관계를 갖는다. 따라서 BK 는 CW 복합체의 위상형을 가진다.
• 코homology 링 H*(K/T) 는 스티너드 대칭군 Ap 의 모듈러로 작용하며, 웨일 군과 소멸 연산자에 의해 유도된 풍부한 구조를 가진다.
• 코homology H*(K) 는 호프 대수 구조를 지니며, 호모로지 H*(K) 는 잘 정의된 링 구조를 가지며, 모두 군의 구조와 호환된다.
• K 의 위상은 닫힌 슈베르트 다양체 Z̅w 에 의해 생성되며, K 는 유한형의 자유 T-CW 복합체이자 K/T 의 CW 복합체 구조와 호환된다.