[논문 리뷰] On the Topology of Metric Spaces definable in o-minimal expansions of fields

Erik Walsberg|arXiv (Cornell University)|2015. 10. 25.

Advanced Topology and Set Theory참고 문헌 6인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 순서체의 o-미니멀 확장에서 정의 가능한 거리 공간에 대해 위상적 이분법을 수립한다: 공간이 무한한 정의 가능한离산 부분집합을 포함하거나, 아니면 유클리드 공간과 정의 가능하게 위상동형이 된다. 또한 거의 모든 점이 유클리드 공간의 열린 부분집합과 정의 가능하게 위상동형이 되는 이웃을 갖는다고 보여주며, 유클리드 입방체에서의 정의 가능한 연속 함수사영을 통해 이러한 공간의 위상 차원을 특성화한다.

ABSTRACT

We study the topology of metric spaces which are definable in o-minimal expansions of ordered fields. We show that a definable metric space either contains an infinite definable discrete set or is definably homeomorphic to a definable set equipped with its euclidean topology. This implies that a separable metric space which is definable in an o-minimal expansion of the real field is definably homeomorphic to a definable set equipped with its euclidean topology. We show that almost every point in a definable metric space has a neighborhood which is definably homeomorphic to an open definable subset of euclidean space.

연구 동기 및 목표

• 정의 가능한 거리 공간의 위상적 구조를 이해하는 것.
• 그러한 공간이 국소적으로 유클리드 공간과 위상동형이거나, 무한한 이산 정의 가능한 부분집합을 포함하는지 여부를 결정하는 것.
• 유클리드 입방체에서의 정의 가능한 연속 사상에 의해 정의 가능한 거리 공간의 위상 차원을 특성화하는 것.
• 실수 체 위에서 정의 가능한 거리 공간의 완비화가 스스로 정의 가능하다는 것을 보이는 것.
• 기저 집합의 o-미니멀 차원에 의해 위상 차원이 유계임을 확립하는 것.

제안 방법

• 무한한 이산 정의 가능한 부분집합이 존재하거나, 아니면 공간이 유클리드 공간과 정의 가능하게 위상동형이라는 정의 가능한 이분법을 사용한다.
• 일부 정의 가능한 함수의 상이 유클리드 위상에서 열린다는 것을 보이기 위해 o-미니멀 열린 사상 정리를 적용한다.
• 균일 연속성과 거리 감소 사상(거리 감소 사상)을 사용하여 정의 가능한 거리 위상과 유클리드 위상 간의 관계를 규명한다.
• o-미니멀 차원에 대한 귀납법을 사용하고, 공간을 낮은 차원의 정의 가능한 집합들로 덮어 위상 차원을 분석한다.
• 서로소 합집합의 위상 차원이 그 성분들의 차원의 상한임을 이용한다.
• 이미지의 제거를 통해 몫 공간을 정의 가능한 집합으로 실현함으로써, 정의 가능한 구조가 유지됨을 악용한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 정의 가능한 거리 공간이 언제 유클리드 공간과 국소적으로 위상동형이 되는가?
• RQ2 정의 가능한 거리 공간이 언제 무한한 이산 정의 가능한 부분집합을 포함하는가?
• RQ3 정의 가능한 거리 공간의 위상 차원은 그 o-미니멀 차원과 어떻게 관련이 있는가?
• RQ4 실수 체 위에서 정의 가능한 거리 공간의 완비화가 스스로 정의 가능한가?
• RQ5 정의 가능한 연속 사상에 의한 유클리드 입방체에서의 사영을 통해 정의 가능한 거리 공간의 위상 차원을 특성화할 수 있는가?

주요 결과

• 정의 가능한 거리 공간은 무한한 정의 가능한 이산 부분집합을 포함하거나, 아니면 유클리드 공간의 정의 가능한 부분집합과 정의 가능하게 위상동형이 된다.
• 정의 가능한 거리 공간의 거의 모든 점은 어떤 유클리드 공간의 열린 부분집합과 정의 가능하게 위상동형이 되는 이웃을 갖는다.
• 실수 체 위에서 정의 가능한 거리 공간의 위상 차원은, $[0,1]^m$ 에서 그 공간으로의 정의 가능한 연속 단사함수가 존재하는 최대의 $ m $ 이다.
• 정의 가능한 거리 공간의 위상 차원은 그 o-미니멀 차원에 의해 위에서 유계이다.
• 실수 체의 o-미니멀 확장에서 정의 가능한 거리 공간의 완비화는 스스로 정의 가능하다.
• 모든 정의 가능한 거리 공간은 거의 곳곳에서 국소적으로 정의 가능하게 컴act하다. 즉, 거의 모든 점이 유클리드 열린 집합과 위상동형이 되는 이웃을 갖는다.