[논문 리뷰] On the tractable counting of theory models and its application to belief revision and truth maintenance

Adnan Darwiche|ArXiv.org|2000. 03. 09.

Logic, Reasoning, and Knowledge참고 문헌 13인용 수 11

한 줄 요약

이 논문은 순서화된 이진 决定 다이어그램(OBDDs)를 결정성 가분 부정 정규형(d-DNNF)으로 변환하는 선형 시간 알고리즘을 소개한다. 이는 문장 할당, 철회, 전환에 대한 효율적인 모델 수 계산을 가능하게 하며, 핵심 기여는 d-DNNF의 이중 통과 순회를 통해 상수 시간의 함의 및 일致성 검사가 가능하게 하는 것이다. 이는 트리너비가 유계이거나 OBDD 표현이 작은 문장 이론에 대해 선형 시간 완전 진술 유지 및 믿음 수정 시스템을 지원한다.

ABSTRACT

We introduced decomposable negation normal form (DNNF) recently as a tractable form of propositional theories, and provided a number of powerful logical operations that can be performed on it in polynomial time. We also presented an algorithm for compiling any conjunctive normal form (CNF) into DNNF and provided a structure-based guarantee on its space and time complexity. We present in this paper a linear-time algorithm for converting an ordered binary decision diagram (OBDD) representation of a propositional theory into an equivalent DNNF, showing that DNNFs scale as well as OBDDs. We also identify a subclass of DNNF which we call deterministic DNNF, d-DNNF, and show that the previous complexity guarantees on compiling DNNF continue to hold for this stricter subclass, which has stronger properties. In particular, we present a new operation on d-DNNF which allows us to count its models under the assertion, retraction and flipping of every literal by traversing the d-DNNF twice. That is, after such traversal, we can test in constant-time: the entailment of any literal by the d-DNNF, and the consistency of the d-DNNF under the retraction or flipping of any literal. We demonstrate the significance of these new operations by showing how they allow us to implement linear-time, complete truth maintenance systems and linear-time, complete belief revision systems for two important classes of propositional theories.

연구 동기 및 목표

• 효율적인 논리적 추론을 지원하는 확장 가능한, 처리 가능한 문장 이론 표현 방식을 개발하기 위해.
• DNNF에 새로운 모델 수 계산 연산을 추가하여 선형 시간 믿음 수정 및 진술 유지 기능을 실현하기 위해.
• d-DNNF가 DNNF의 복잡도 보장을 유지하면서도 더 강력한 구조적 성질을 제공함을 보여주기 위해.
• 새로운 연산을 모델 기반 진단에 적용하여 최소 장애 가정 하에 고장난 장치의 동작을 예측할 수 있도록 하기 위해.
• OBDD와 유계 트리너비 CNF가 선형 시간 내에 d-DNNF로 컴파일될 수 있음을 입증하기 위해.

제안 방법

• 선형 시간 알고리즘을 사용해 문장 이론의 OBDD 표현을 등가 d-DNNF로 변환하기 위해.
• d-DNNF를 DNNF의 부분집합으로 정의하며, 가분성과 결정성 조건을 만족시키기 위해, 논리곱에서 변수 공유가 없고, 논리합의 항목이 상호 배타적이도록 보장하기 위해.
• d-DNNF의 노드에 기수를 할당: Σ가 아닌 리터럴은 0, 음성 Σ-리터럴은 1, 논리합은 최소값, 논리곱은 합계로.
• 부모의 기수보다 높은 기수를 가진 자식 노드로의 간선을 제거하여 d-DNNF를 최소화하기 위해.
• 부분 도함수를 사용한 카운팅 그래프를 구성하여, 두 번의 순회를 통해 리터럴 연산 하의 모델 수를 계산하기 위해.
• 부분 도함수와 정리 6을 사용해 사전 처리 후, 어떤 리터럴의 할당, 철회, 전환에 대해 상수 시간 내에 모델 수를 계산하기 위해.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 OBDD 표현이 d-DNNF로 선형 시간 내에 컴파일될 수 있으며, 확장성은 유지되는가?
• RQ2 d-DNNF를 사용해 리터럴 할당, 철회, 전환에 대한 모델 수 계산이 선형 시간 내에 수행될 수 있는가?
• RQ3 결과로 얻어진 연산을 사용해 완전하고 선형 시간의 진술 유지 및 믿음 수정 시스템을 구현할 수 있는가?
• RQ4 모델 수 계산 메커니즘이 최소 장애 가정 하에 고장난 장치의 동작을 예측할 수 있는가?
• RQ5 DNNF의 복잡도 보장이 더 엄격한 d-DNNF 부분집합으로까지 확장되는가?

주요 결과

• 모든 OBDD를 등가 d-DNNF로 변환하는 선형 시간 알고리즘이 존재하며, 이는 d-DNNF가 OBDD만큼 확장성과 동등함을 보여준다.
• d-DNNF에서의 모델 수 계산 연산은 오직 두 번의 순회만 필요하며, 사전 처리 후 상수 시간의 함의 및 일치성 검사를 가능하게 한다.
• 이 방법은 트리너비가 유계이거나 OBDD 표현이 작은 문장 이론에 대해 선형 시간 완전 진술 유지 및 믿음 수정 시스템을 지원한다.
• 이 접근법은 장치 기술서의 크기 선형 시간 내에 최소 장애 가정 하에 장치 동작 예측을 효율적으로 수행할 수 있다.
• d-DNNF의 기수 최소화로 예시에서 모델 수가 8개에서 4개로 감소하며, 정확성은 유지되면서 효율적인 추론이 가능해진다.
• 카운팅 그래프에서 계산된 부분 도함수를 통해 리터럴 연산 하의 정확한 모델 수를 계산할 수 있으며, 예를 들어 관측 S=¬A 하에서 ¬A를 A로 전환한 후 3개의 모델이 존재함을 보여준다.