[논문 리뷰] On the transverse invariant for bindings of open books

David Shea Vela–Vick|arXiv (Cornell University)|2008. 06. 10.

Geometric and Algebraic Topology참고 문헌 15인용 수 7

한 줄 요약

이 논문은 임의의 전단선(전단) 링크 $T$가 접촉 구조와 호환되는 개방 도서 분해(open book decomposition)의 바인딩이면, 그 접촉 구조가 타이트하거나 오버토르티드일지라도, knot Floer homology의 횡방향 불변량 $ˇ{T}(T)$ 가 영이 아님을 증명한다. 핵심 기여는, 보완부에 자명한 접촉 불변량을 갖는 부분다양체를 포함할 경우 sutured Floer homology에서 레지안드로 프레임 불변량이 사라진다는 정리이며, 이를 통해 연결된 바인딩의 보완부에 기르우프 토파이오션이 존재하지 않음을 유도한다.

ABSTRACT

Consider a transverse knot which is the binding of an open book for the ambient contact manifold. In this paper, we show that the transverse invariants defined by Lisca, Ozsvath, Stipsicz, and Szabo (LOSS) are nonvanishing for such transverse knots. This is true regardless of whether or not the ambient contact structure is tight. We also prove a vanishing theorem for LOSS's Legendrian and transverse invariants. As a corollary, we show that if (T,π) is an open book with connected binding, then the complement of T has no Giroux torsion.

연구 동기 및 목표

• 개방 도서 분해와 호환되는 접촉 구조에 대해, 그 바인딩이 되는 전단선에 대해 knot Floer homology에서 횡방향 및 레지안드로 프레임 불변량의 행동을 조사하는 것.
• 보완부에 있는 부분다양체의 접촉 불변량이 자명할 경우 sutured Floer homology에서 레지안드로 프레임 불변량의 사라짐 기준을 확립하는 것.
• 개방 도서 분해에서 연결된 바인딩의 보완부가 기르우프 토파이오션을 포함하지 않음을 보여주며, 위상적 제약 조건과 접촉 불변량을 연결하는 것.
• 이전의 레지안드로 프레임 불변량에 대한 사라짐 정리를 자명한 접촉 불변량을 갖는 더 넓은 범주로 일반화하는 것.

제안 방법

• sutured Floer homology에서의 접촉 불변량과 그 접촉 접합(contact gluing)에 따른 행동을 이용하여, 레지안드로 프레임 및 횡방향 링크의 불변량을 분석한다.
• sutured Floer homology의 접합 정리를 적용하여, 레지안드로 프레임 링크의 보완부에 있는 부분다양체 $N$ 이 자명한 접촉 불변량을 갖는다면, 그 링크의 불변량이 사라짐을 보인다.
• 레지안드로 프레임 링크에서 부분 개방 도서 분해를 구성하고, 핸들 부착을 통해 전체 다가지의 다양체에 대한 개방 도서로 확장한다.
• Heegaard Floer homology에서 모노드로미 맵의 호위상 불변성을 이용하여, 동치 변형에 따라 접촉 원소의 사라짐이 유지됨을 보장한다.
• 자기다양체의 sutured Floer homology에서 접촉 원소가 사라지면, 그에 따라 레지안드로 프레임 불변량도 사라짐을 유도하기 위해, 접촉 원소의 성질을 활용한다.
• Giroux의 정리에 의해 개방 도서와 접촉 구조 사이의 대응을 이용하여, 바인딩의 위상적 구조와 보완부의 접촉 기하학을 연결한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 접촉 구조와 호환되는 개방 도서 분해의 바인딩이 되는 전단선 $T$에 대해, 횡방향 불변량 $ˇ{T}(T)$ 가 영일까?
• RQ2 보완부에 자명한 접촉 불변량을 갖는 부분다양체가 존재할 경우, $β{HFK}^{-}(-Y,L)$ 에서의 레지안드로 프레임 불변량 $β{L}(L)$ 는 어떤 조건에서 사라지는가?
• RQ3 레지안드로 프레임 링크의 보완부에 있는 부분다양체 $N$ 에서 접촉 불변량이 사라지면, 그에 따라 레지안드로 프레임 불변량도 사라지는가?
• RQ4 개방 도서 분해에서 연결된 바인딩의 보완부는 반드시 기르우프 토파이오션을 포함하지 않는가?
• RQ5 개방 도서의 바인딩에 대해 횡방향 불변량이 영이 아니라는 성질이, 둘레의 접촉 구조가 타이트한지 여부와 독립적인가?

주요 결과

• 접촉 구조와 호환되는 개방 도서 분해의 바인딩이 되는 임의의 전단선 $T$ 에 대해, 그 접촉 구조가 오버토르티드일지라도 횡방향 불변량 $ˇ{T}(T)$ 는 영이 아님을 보였다.
• 레지안드로 프레임 링크 $L$ 의 보완부에 경계가 볼록인 컴acts한 부분다양체 $N$ 이 존재하고, 그에 대해 sutured Floer homology에서 접촉 불변량 $c(N,ξ|_N)$ 가 사라지면, 레지안드로 프레임 불변량 $β{L}(L)$ 도 사라진다.
• 결과적으로, 레지안드로 프레임 링크의 보완부에 양의 기르우프 토파이오션이 존재한다면, 그 레지안드로 프레임 불변량은 사라진다.
• 개방 도서 분해에서 연결된 바인딩의 보완부는, 둘레의 접촉 구조가 타이트한지 여부와 관계없이 기르우프 토파이오션을 포함하지 않는다.
• 개방 도서의 바인딩에 대해 횡방향 불변량 $ˇ{T}(T)$ 는 영이 아니며, 이는 해당 레지안드로 프레임 불변량 $β{L}(L)$ 도 영이 아니라는 것을 암시한다.
• 보완부의 부분다양체 $N$ 에서 접촉 불변량이 사라지면, 레지안드로 프레임 불변량도 사라지며, 이는 이전에 알려진 오버토르티드 디스크의 경우를 일반화한 결과이다.