[논문 리뷰] On the tree-width of even-hole-free graphs

Pierre Aboulker, Isolde Adler외 3명|arXiv (Cornell University)|2020. 08. 12.

Advanced Graph Theory Research참고 문헌 15인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 어떤 고정된 그래프를 소수로 포함하지 않는 순환 없는 그래프의 트리 폭이 유계임을 증명하며, 이러한 그래프에 대한 격자 유사 구조 정리가 수립된다. 소수 닫힘 성질과 구조적 분해를 활용하여, 고정된 소수의 부재가 트리 폭의 유계성을 유도함을 보이며, 평면 순환 없는 그래프에 대한 기존 결과를 일반화하고, 유계 차수의 순환 없는 그래프에 대한 추측을 뒷받 underpin한다.

ABSTRACT

The class of all even-hole-free graphs has unbounded tree-width, as it contains all complete graphs. Recently, a class of (even-hole, $K_4$)-free graphs was constructed, that still has unbounded tree-width [Sintiari and Trotignon, 2019]. The class has unbounded degree and contains arbitrarily large clique-minors. We ask whether this is necessary. We prove that for every graph $G$, if $G$ excludes a fixed graph $H$ as a minor, then $G$ either has small tree-width, or $G$ contains a large wall or the line graph of a large wall as induced subgraph. This can be seen as a strengthening of Robertson and Seymour's excluded grid theorem for the case of minor-free graphs. Our theorem implies that every class of even-hole-free graphs excluding a fixed graph as a minor has bounded tree-width. In fact, our theorem applies to a more general class: (theta, prism)-free graphs. This implies the known result that planar even hole-free graph have bounded tree-width [da Silva and Linhares Sales, Discrete Applied Mathematics 2010]. We conjecture that even-hole-free graphs of bounded degree have bounded tree-width. If true, this would mean that even-hole-freeness is testable in the bounded-degree graph model of property testing. We prove the conjecture for subcubic graphs and we give a bound on the tree-width of the class of (even hole, pyramid)-free graphs of degree at most 4.

연구 동기 및 목표

• 성질 테스팅 분야의 핵심 열린 문제인, 유계 차수를 가진 순환 없는 그래프가 유계 트리 폭을 갖는지 여부를 해결하기 위해.
• (순환 없음, K₄)-자유 그래프에서 유계가 아닌 트리 폭이 발생하는 원인이 고차수 정점인지 큰 클리크 소수인지 확인하기 위해.
• 소수 및 차수 제약 조건 하에서 순환 없는 그래프에 대한 구조 정리를 수립하기 위해.
• 트리 폭과 벽 또는 벽의 선 그래프를 포함하는 유도 부분그래프로 연결함으로써, 소수 자유 그래프에 대한 배제된 격자 정리의 일반화를 위해.
• (순환 없음, 피라미드)-자유 그래프 중 최대 차수 ≤4인 그래프의 트리 폭이 유계임을 증명하기 위해.

제안 방법

• H-소수 자유 그래프에 대해 Robertson-Seymour 격자 정리의 강화판을 증명하여, 이러한 그래프가 소수 트리 폭을 갖거나 큰 벽 또는 벽의 선 그래프를 유도 부분그래프로 포함함을 보임.
• 그래프 크기와 최소성 원리를 이용한 수학적 귀납법을 통해 피라미드, 토리, 프리즘, K₆ 소수 등의 유도 부분그래프를 배제함.
• 기본 그래프를 완전 그래프, 사이클, 또는 점선을 경로로 대체하거나 수축하여 형성된 패턴으로 정의하고 분석함.
• 최대 차수 4인 그래프에 대해 2-조인 분해를 적용하며, 클리크 분리자와 구조적 제약 조건을 이용해 트리 폭을 제한함.
• 정리 1.1의 함수 fH(k)를 활용하여 소수 배제와 벽 크기로 트리 폭을 유계화함.
• 긴 유도 사이클을 가진 유계 차수 그래프에 대한 기존 결과를 활용하여 트리 폭 유계를 도출함.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 고정된 소수를 배제할 경우, 순환 없는 그래프에서 트리 폭이 유계가 되는가?
• RQ2 (순환 없음, K₄)-자유 그래프에서 유계가 아닌 트리 폭은 고차수 정점 때문인지 큰 클리크 소수 때문인가?
• RQ3 유계 최대 차수를 가진 순환 없는 그래프는 유계 트리 폭을 갖는가?
• RQ4 패턴, 클리크 분리자, 2-조인을 사용하여 최대 차수 4인 순환 없는 그래프에 대한 구조 정리를 수립할 수 있는가?
• RQ5 2-조인 분해를 고차수 순환 없는 그래프로 확장할 수 있는가?

주요 결과

• 어떤 고정된 그래프 H를 소수로 포함하지 않는 순환 없는 그래프는 트리 폭이 유계이며, 이는 추측 1을 확인함.
• 최대 차수 4 이하인 (순환 없음, 피라미드)-자유 그래프의 클래스는 트리 폭이 fK₆(3) 미만임을 보이며, 구체적인 유계를 제공함.
• 증명 과정에서 H-소수 자유 순환 없는 그래프는 소수 트리 폭을 갖거나 큰 벽 또는 벽의 선 그래프를 유도 부분그래프로 포함함을 보임.
• 결과는 더 일반적인 (토리, 프리즘)-자유 그래프 클래스로 확장되며, 소수 제약 조건 하에서 트리 폭이 유계임을 의미함.
• 저자는 유계 차수를 가진 순환 없는 그래프가 유계 트리 폭을 갖는다는 추측을 내세우며, 삼차 그래프의 경우 이를 증명함.
• 패턴, 기본 그래프, 2-조인 분해를 사용하여 최대 차수 4인 순환 없는 그래프에 대한 구조 정리를 제안함.