[논문 리뷰] On the two dimensional supercritical percolation cluster, the number of self-avoiding paths is much smaller than expected

Hubert Lacoin|arXiv (Cornell University)|2012. 03. 27.

Stochastic processes and statistical mechanics인용 수 2

한 줄 요약

이 논문은 이중 초임계 퍼콜레이션 클러스터에서의 자가피避 보행을 연구하고, 거의 확실하게 길이 $N$인 그러한 경로의 수가 그 기대값보다 지수적으로 느리게 증가함을 보여준다. 측도 변화와 거칠기 조절 기법을 사용하여, 초임계 클러스터의 연결 상수는 거의 확실하게 비랜덤이며 기대 연결 상수보다 엄격히 작음을 증명한다. 이는 일반적인 변동 이외의 경로 수의 현저한 억제를 시사한다.

ABSTRACT

In this paper, we study abundance of self-avoiding paths of a given length on a supercritical percolation percolation cluster for percolation on $\mathbb Z^d$. More precisely, we count $Z_N$ the number of self-avoiding paths of length $N$ on the supercritical cluster, starting from the origin (that we condition to be in the cluster), and are interested in estimating the upper growth rate of $Z_N$ ($\limsup_{N o \infty} Z_N^{1/N}$, we call it connective constant of the dilute lattice). After proving that the connective constant of the supercritical percolation cluster is a.s. non-random, we focus on the two-dimensional case and show that for every percolation parameter $p\in (1/2,1)$, almost surely, $Z_N$ grows exponentially slower than its expected value, that is $\limsup_{N o \infty} Z_N^{1/N}<\lim_{N o \infty} (\mathbb E[Z_N])^{1/N}$ where expectation is taken with respect to the percolation process. Our method combining change of measure and coarse graining arguments does not rely on specificities of percolation on $\mathbb Z^2$, so that our result can be extended to a large family of two dimensional models including self-avoiding walk in random environment.

연구 동기 및 목표

• 이중 초임계 퍼콜레이션의 무한 클러스터에서 자가피避 경로의 渐近적 성장률을 이해하는 것.
• 랜덤 퍼콜레이션 클러스터의 연결 상수가 거의 확실하게 비랜덤인지 결정하는 것.
• 초임계 영역에서 자가피避 경로의 거의 확실한 성장률과 그 기대값 사이의 격리에 대해 조사하는 것.
• 자기피避 보행이 랜덤 환경에서의 다른 이중 차원 모델에 적용 가능한 일반적인 방법을 수립하는 것.

제안 방법

• 경로 수의 우세한 사건을 제어하기 위해 퍼콜레이션 과정을 재가중하기 위해 측도 변화 기법을 적용하는 것.
• 격자 구조를 블록으로 분해하여 경로 행동을 중간 척도에서 분석하기 위해 거칠기 조절 기법을 사용하는 것.
• 큰 척도에서 경로 수의 변동을 제어하여 연결 상수의 거의 확실한 수렴을 확립하는 것.
• 새로운 측도 하에서 에르고디시티와 큰 변화 이론을 활용하여 연결 상수가 비랜덤임을 증명하는 것.
• 기대 성장률 $\mathbb{E}[Z_N]^{1/N}$ 과의 거의 확실한 성장률 $Z_N$을 비교하여 엄격한 부등식을 증명하는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 초임계 퍼콜레이션 클러스터의 연결 상수가 거의 확실하게 비랜덤인가?
• RQ2 퍼콜레이션 측도 하에서의 거의 확실한 자가피避 경로 성장률은 기대 성장률과 어떻게 비교되는가?
• RQ3 이 논문에서 사용된 방법은 다른 이중 차원 모델, 특히 고정된 불순물이 있는 모델로 확장 가능한가?
• RQ4 초임계 영역에서 경로 수의 감소는 어떤 성격을 지닌다?

주요 결과

• 초임계 퍼콜레이션 클러스터의 연결 상수는 거의 확실하게 비랜덤이며, 이는 결정론적 점근적 성장률을 확인한다.
• 모든 $p \in (1/2, 1)$ 에 대해 거의 확실하게 $\limsup_{N \to \infty} Z_N^{1/N} < \lim_{N \to \infty} (\mathbb{E}[Z_N])^{1/N}$ 이 성립하며, 이는 경로 수의 지수적 억제를 시사한다.
• 측도 변화와 거칠기 조절 기반의 방법은 최근접 이웃 퍼콜레이션을 초월하여 광범위한 이중 차원 모델에 적용 가능하며, 강인하다.
• 결과는 일반적인 실현된 초임계 클러스터가 무한하더라도, 기대되는 자가피避 경로의 전체 수를 지지하지는 못함을 시사한다.