[논문 리뷰] On the Ulam-Hyers-Rassias stability for nonlinear fractional differential equations using the $\psi$-Hilfer operator

J. Vanterler da C. Sousa, E. Capelas de Oliveira|arXiv (Cornell University)|2017. 11. 20.

Functional Equations Stability Results참고 문헌 19인용 수 9

한 줄 요약

이 논문은 $ψ$-Hilfer 분수도 도함수를 포함하는 비선형 코시 문제의 해가 존재하고 유일하며, 우란-하이어즈-라싸스 안정성 여부를 조사한다. 고정점 정리와 비교 원리를 사용하여 일반적인 분수차수 연산자에 대해 안정성에 대한 충분조건을 확립하며, 고전적 안정성 개념을 더 넓은 범위의 비선형 분수도 미분방정식 클래스로 확장한다.

ABSTRACT

We study the existence and uniqueness of solution of a nonlinear Cauchy problem involving the $\psi$-Hilfer fractional derivative. In addition, we discuss the Ulam-Hyers and Ulam-Hyers-Rassias stabilities of its solutions. A few examples are presented in order to illustrate the possible applications of our main results.

연구 동기 및 목표

• 비선형 코시 문제에 대한 해의 존재성과 유일성을 $ψ$-Hilfer 분수도 도함수를 포함하여 확립하기.
• 고전적 우란-하이어즈 및 우란-하이어즈-라싸스 안정성 개념을 $ψ$-Hilfer 연산자를 통한 분수도 미분방정식으로 확장하기.
• 변수차수 행동을 보이는 광범위한 비선형 분수도 모델에 적용 가능한 이론적 프레임워크 제공하기.
• 특정 $ψ$-함수를 포함한 구체적 예시를 통해 결과의 적용 가능성을 보여주기.

제안 방법

• 해의 존재성과 유일성을 입증하기 위해 고정점 정리, 특히 바나흐 및 크라스노셀스키 정리를 활용하기.
• 리만-리우빌 및 카프토 도함수의 일반화인 $ψ$-Hilfer 분수도 도함수를 사용하여 복잡한 기억 효과를 모델링하기.
• 편미분에 대한 안정성 추정을 도출하기 위해 비교 원리와 적분 부등식을 적용하기.
• 분수 동역학 맥락에서 우란-하이어즈-라싸스 안정성을 분석하기 위해 일반화된 리아푸노프 유형 함수 도입하기.
• 구체적인 $ψ$-함수(예: 로그형 또는 거듭제곱형)를 포함한 명시적 예시를 구성하여 이론적 결과의 타당성 검증하기.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 비선형 코시 문제에 대해 $ψ$-Hilfer 도함수를 포함할 경우 어떤 조건에서 유일한 해가 존재하는가?
• RQ2 어떻게 하면 $ψ$-Hilfer 연산자를 통한 분수도 미분방정식에 대해 우란-하이어즈 안정성을 확장할 수 있는가?
• RQ3 임의의 $ψ$-함수를 포함하는 비선형 분수도 시스템에서 우란-하이어즈-라싸스 안정성을 위한 충분조건은 무엇인가?
• RQ4 $ψ$-Hilfer 연산자는 비특이성 및 비국소 기억을 갖는 실제 세계 현상을 모델링하는 데 어떤 방식으로 향상되는가?

주요 결과

• 고정점 이론을 통해 온화한 리프시츠 조건과 성장 조건 하에서 해의 존재성과 유일성이 입증된다.
• 적분 추정과 비교 기법을 사용하여 비선형 분수도 코시 문제에 대해 우란-하이어즈 안정성이 증명된다.
• 편미분을 제어하는 함수를 도입함으로써 우란-하이어즈-라싸스 안정성이 달성되며, 고전적 안정성 개념이 일반화된다.
• 특정 $ψ$-함수를 포함한 구체적 예시를 통해 이론적 프레임워크의 적용 가능성이 검증된다.