[논문 리뷰] On the Ultrarelativistic Limit of General Relativity

G. Daŭtcourt|arXiv (Cornell University)|1998. 01. 28.

Cosmology and Gravitation Theories참고 문헌 3인용 수 25

한 줄 요약

이 논문은 빛의 속도가 0으로 수렴하는 일반상대성 이론의 초상대론적 극한을 제안하며, 이로 인해 5차원 시공간 속에서 빛의 원뿔이 영 초면으로 붕괴된다. 이 이론은 편미분 방정식 대신 상미분 방정식을 갖는다. 이는 캐러럴 군에 의해 지배되며, 중력 역학은 일반 상대론적 이론과 유사한 초국소 근사로 단순화되지만, 타키온적 진화를 보이며 공간적 전파가 없다.

ABSTRACT

As is well-known, Newton's gravitational theory can be formulated as a four-dimensional space-time theory and follows as singular limit from Einstein's theory, if the velocity of light tends to the infinity. Here 'singular' stands for the fact, that the limiting geometrical structure differs from a regular Riemannian space-time. Geometrically, the transition Einstein to Newton can be viewed as an 'opening' of the light cones. This picture suggests that there might be other singular limits of Einstein's theory: Let all light cones shrink and ultimately become part of a congruence of singular world lines. The limiting structure may be considered as a nullhypersurface embedded in a five-dimensional spacetime. While the velocity of light tends to zero here, all other velocities tend to the velocity of light. Thus one may speak of an ultrarelativistic limit of General Relativity. The resulting theory is as simple as Newton's gravitational theory, with the basic difference, that Newton's elliptic differential equation is replaced by essentially ordinary differential equations, with derivatives tangent to the generators of the singular congruence. The Galilei group is replaced by the Carroll group introduced by Lévy-Leblond. We suggest to study near ultrarelativistic situations with a perturbational approach starting from the singular structure, similar to post-Newtonian expansions in the $c o \infty$ case.

연구 동기 및 목표

• 빛의 속도가 무한대로 수렴하는 표준 뉴턴 극한과 반대되는, 일반상대성 이론의 새로운 특이 극한을 탐색하는 것.
• 이 극한에서 시공간의 기하학적 구조를 규명하여, 이가 5차원에 임bed된 4차원 영 초면임을 확인하는 것.
• 이 초상대론적 영역에서 장 방정식을 유도하여, 이들이 빛의 원뿔의 생성자 沿해 상미분 방정식으로 간소화됨을 보여주는 것.
• 이 극한에서의 대칭군이 캐러럴 군임을 규명하고, 뉴턴 극한에서의 가우시안 군과 대비하는 것.
• 이 특이 극한 근처에서 강력한 중력 현상을 연구하기 위해 초상대론적 이후의 펌더베이션 전개를 제안하는 것.

제안 방법

• 비가역적인 메트릭을 갖는 특이 리만 공간 $V^{(1)}_4$ 를 도입하여, 고유한 접속이 존재하지 않지만 리치 로테이션 계수는 정의할 수 있음을 보임.
• 기하학을 단순화하고 초상대론적 극한에서 장 방정식을 유도하기 위해 적합한 좌표계를 사용함.
• 매개변수 $\epsilon = c^2 \to 0$ 를 갖는 메트릭의 가족 $g_{\mu\nu}(x^\mu, \epsilon)$ 에서 아인슈타인 방정식을 바탕으로 초상대론적 장 방정식을 유도함. 이로 인해 3-메트릭 $\gamma_{ik}$ 와 스칼라 함수 $H$ 에 대한 제약 조건이 유도됨.
• 진공 및 먼지 물질의 경우, 시간 변수 $v = \partial/\partial v$ 에서의 상미분 방정식 시스템으로 방정식을 축소함. 초기 조건은 (26) 및 (27)에서 유도되고, 전파 방정식은 (28)에 의해 이루어짐.
• 함수형태를 결정하기 위해 제약 조건 $\dot{\gamma}_{ik}\gamma^{kl}\dot{H}_{,l} = 0$ 를 적용하여, $H = h(v) + hh(\xi^i)$ 와 같은 해를 도출함.
• 공동좌표계에서 물질 밀도의 진화를 유도하여, $\rho \sim (\det \gamma_{ik})^{-1/2}$ 임을 보여주며, 이는 초상대론적 극한에서의 보존 법칙과 일치함.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 빛의 속도가 0으로 수렴하는 극한에서 시공간의 기하학적 구조는 어떠한가?
• RQ2 일반상대성 이론의 장 방정식이 이 초상대론적 극한에서 어떻게 단순화되는가?
• RQ3 캐러럴 군이 이 극한에서 대칭군으로서 수행하는 역할은 무엇이며, 이는 뉴턴 극한에서의 가우시안 군과 어떻게 다를까?
• RQ4 특이 극한에서 손실된 역학을 복구하기 위해 초상대론적 이후의 펌더베이션 전개를 어떻게 구성할 수 있는가?
• RQ5 진공 및 먼지 물질의 해는 이 초상대론적 프레임워크에서 어떻게 행동하며, 그 물리적 해석은 무엇인가?

주요 결과

• 초상대론적 극한은 빛의 원뿔이 5차원에 임베딩된 영 초면 $V^{(1)}_4$ 로 붕괴되는 비가역적 시공간 기하학적 구조를 초래한다.
• 장 방정식은 빛의 원뿔의 생성자에 따라 상미분 방정식으로 간소화되며, 공간적 전파 없이 타키온적 진화만 존재한다.
• 진공 장 방정식은 (26)–(28)로 주어지며, 제약 조건이 시간 진동에서 유지되는 초기값 문제를 이룬다.
• 먼지 물질의 경우, 전파 방정식 (33)은 $\rho e^H$ 비례하는 소스 항을 포함하며, 스칼라 제약 (34)는 $\rho \sim (\det \gamma_{ik})^{-1/2}$ 라면 유지된다.
• 예시 (31)–(32)에서 $v = -a/b$ 에서 공명점(caustics)이 나타나며, 이는 초상대론적 파동 역학에서 특이 행동을 나타낸다.
• 등방성 팽창의 경우, 물질 밀도는 $\rho \sim (1 + \frac{9}{4r_0^3} \int \lambda \, dv)^{-2/3}$ 와 같이 진화하며, 이는 일반상대성 이론과 유사하게 원점에서 특이성을 보임.