[논문 리뷰] On the Unstable Directions and Lyapunov Exponents of Anosov Endomorphisms

Fernando Micena, Ali Tahzibi|arXiv (Cornell University)|2014. 12. 01.

Mathematical Dynamics and Fractals참고 문헌 5인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 닫힌 다양체 위의 Anosov 자기사상에서의 불안정 방향과 리아프노프 지수를 조사하며, 전이적 Anosov 자기사상은 또는 특수한 경우(각 점에서 단일한 불안정 방향을 가짐)이거나, 잔여 집합의 점들에 대해 비가чёт 가능한 많은 불안정 방향을 가짐을 증명한다. 또한 선형 토르스 자기사상 주변의 $C^{1+eta}$ 코디멘션-일치 Anosov 자기사상에 대해 불안정 리아프노프 지수의 준강성(special rigidity)을 확립하고, 보존적 $C^{1+eta}$ Anosov 자기사상의 에르고딕성을 증명한다.

ABSTRACT

Despite the invertible setting, Anosov endomorphisms may have infinitely many unstable directions. Here we prove, under transitivity assumption, that an Anosov endomorphism on a closed manifold $M,$ is either special (that is, every $x \in M$ has only one unstable direction) or for a typical point in $M$ there are infinitely many unstable directions. Other result of this work is the semi rigidity of the unstable Lyapunov exponent of a $C^{1+α}$ codimension one Anosov endomorphism and $C^1$ close to a linear endomorphism of $\mathbb{T}^n$ for $(n \geq 2).$ In the appendix we give a proof for ergodicity of $C^{1+α}, α> 0,$ conservative Anosov endomorphism.

연구 동기 및 목표

• Anosov 자기사상에서의 불안정 방향의 구조를 이해하기 위해, 특히 점들이 유한한 수의 또는 무한한 수의 이러한 방향을 가질 수 있는지 여부를 조사한다.
• 비특수 Anosov 자기사상이 각 점에서 유한한 수의 불안정 방향만을 가질 수 있는지 여부를 규명한다.
• 선형 토르스 자기사상 주변의 $C^{1+eta}$ 코디멘션-일치 Anosov 자기사상에 대해 불안정 리아프노프 지수의 준강성(special rigidity)을 확립한다.
• SRB 측도 이론과 역한계 공간 기법을 사용하여 보존적 $C^{1+eta}$ Anosov 자기사상의 에르고딕성을 증명한다.

제안 방법

• 자기사상의 역한계 공간 구성법을 사용하여, 기본 커버 위의 미분동형사상으로의 상향을 통해 불변 분할과 안정/불안정 번들의 이론을 적용할 수 있도록 한다.
• SRB 측도 이론과 조건부 측도를 적용하여 불안정 리본의 에르고딕 분해와 절대연속성 분석을 수행한다.
• 자기사상의 앙상블과 리아프노프 지수 추정치를 사용한 체적 성장 추정치를 바탕으로 모순을 이용한 증명을 통해 불안정 리아프노프 지수의 준강성(special rigidity)을 증명한다.
• 자연스러운 확장(natural extension, 즉 역한계 공간)을 활용하여 자기사상의 역학을 미분동형사상의 역학과 연결하며, 엔트로피를 유지하고 $C^1$ 근처에서 동형사상이 가능하도록 한다.
• Pesin의 공식을 자기사상에 적용하여 메트릭 엔트로피와 양의 리아프노프 지수의 합을 연결함으로써, 에르고딕성 증명에 핵심적인 역할을 한다.
• 선형 Anosov 자기사상에 $C^1$로 가까운 경우, 상향된 사상이 선형 사상과 동형이 되며, 이로 인해 리아프노프 지수에 대한 균일한 추정치를 얻을 수 있다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 비특수 Anosov 자기사상이 각 점에서 유한한 수의 불안정 방향만을 가질 수 있는가?
• RQ2 전이적 Anosov 자기사상에서의 불안정 방향의 일반적인 구조는 무엇인가?
• RQ3 선형 토르스 자기사상 주변의 $C^1$ 변형에서 불안정 리아프노프 지수는 준강성을 가지는가?
• RQ4 보존적 $C^{1+eta}$ Anosov 자기사상이 에르고딕해지는 조건은 무엇인가?
• RQ5 역한계 공간 구성법은 비가역적 초구형 역학을 분석하는 데 어떻게 기여하는가?

주요 결과

• 전이적 Anosov 자기사상에서는 각 점이 정확히 하나의 불안정 방향을 가질 경우(특수한 경우) 또는 잔여집합의 점들에 대해 비가산적으로 많은 불안정 방향을 가질 경우 중 하나이다.
• 선형 Anosov 자기사상 $ℚ^n$ ($n \geq 2$) 주변의 $C^1$ 근처에서, 임의의 $C^{1+α}$ 보존적 Anosov 자기사상의 불안정 리아프노프 지수는 선형 사상의 지수보다 위로 bound된다.
• 불안정 리아프노프 지수는 준강성: 선형 토르스 자기사상과 1차원 불안정 번들의 경우, 작은 $C^1$ 변형에서 지수는 증가할 수 없다.
• $C^{1+α}$ 보존적 Anosov 자기사상은 Lebesgue 측도에 대해 에르고딕하며, SRB 측도 이론과 조건부 측도의 절대연속성에 의해 증명된다.
• 역한계 공간 구성법을 통해 근처 Anosov 자기사상과 그 상향된 사상 간의 동형사상이 가능하며, 엔트로피를 유지하고 미분동형사상 기법을 적용할 수 있다.
• 보존적 $C^{1+α}$ Anosov 자기사상의 Lebesgue 측도의 에르고딕 분해는 자명하며, 이는 에르고딕성을 의미한다.