[논문 리뷰] On the use of the Edgeworth expansion in cosmology I: how to foresee and evade its pitfalls

Elena Sellentin, Andrew H. Jaffe외 1명|arXiv (Cornell University)|2017. 09. 11.

Statistical and numerical algorithms참고 문헌 4인용 수 11

한 줄 요약

이 논문은 천체물리학적 비정규 분포 장에 대해 에지워스 전개를 재유도하고, 이를 난이도 있게 적용했을 때 나타나는 병적인 행동—예를 들어 발산하는 근사치와 진동하는 오차—를 규명한다. 오차 추정을 바탕으로 시리즈를 신중히 잘라내는 제어 가능한 프레임워크를 제안함으로써, 이 병적인 문제들을 예측하고 피할 수 있도록 하여, 비정규적인 대규모 구조 데이터에서 매개변수 추론에 대해 신뢰할 수 있는 에지워스 전개의 사용을 가능하게 한다.

ABSTRACT

Non-linear gravitational collapse introduces non-Gaussian statistics into the matter fields of the late Universe. As the large-scale structure is the target of current and future observational campaigns, one would ideally like to have the full probability density function of these non-Gaussian fields. The only viable way we see to achieve this analytically, at least approximately and in the near future, is via the Edgeworth expansion. We hence rederive this expansion for Fourier modes of non-Gaussian fields and then continue by putting it into a wider statistical context than previously done. We show that in its original form, the Edgeworth expansion only works if the non-Gaussian signal is averaged away. This is counterproductive, since we target the parameter-dependent non-Gaussianities as a signal of interest. We hence alter the analysis at the decisive step and now provide a roadmap towards a controlled and unadulterated analysis of non-Gaussianities in structure formation (with the Edgeworth expansion). Our central result is that, although the Edgeworth expansion has pathological properties, these can be predicted and avoided in a careful manner. We also show that, despite the non-Gaussianity coupling all modes, the Edgeworth series may be applied to any desired subset of modes, since this is equivalent (to the level of the approximation) to marginalising over the exlcuded modes. In this first paper of a series, we restrict ourselves to the sampling properties of the Edgeworth expansion, i.e.~how faithfully it reproduces the distribution of non-Gaussian data. A follow-up paper will detail its Bayesian use, when parameters are to be inferred.

연구 동기 및 목표

• 비선형 중력 수축으로 인해 후기 대규모 구조에서 비정규 통계를 모델링하기 위한 일반적인 분석적 프레임워크가 부족한 데 대비하여 해결책을 제시하기 위해.
• 표준 에지워스 전개가 천체물리학적 응용에서 실패하는 이유를 진단하기 위해, 특히 비물리적인 진동과 발산하는 근사치를 유도하는 경향을 분석하기 위해.
• 비정규 장 분석에서 에지워스 급수의 병적인 행동을 예측하고 피할 수 있는 체계적인 방법을 개발하기 위해.
• 에지워스 전개를 제어되고 비편향된 방식으로 적용함으로써, 천문학적 매개변수 추론에 있어 신뢰할 수 있는 도구로 활용할 수 있도록 하기 위해.

제안 방법

• 비정규 천체물리학적 장의 푸리에 모드에 대해 에지워스 전개를 재유도하고, 이전의 처리 방식을 넘어서 보다 광범위한 통계적 맥락에 둔다.
• 원래의 에지워스 전개가 비정규 신호가 평균화된 경우에만 수렴한다는 점을 규명함으로써, 매개변수에 의존하는 비정규성을 탐지하는 목적을 상실하게 된다는 점을 밝힌다.
• 비정규 신호를 평균화하지 않는 수정된 분석 전략을 도입함으로써, 관심 있는 신호를 유지하면서도 분석적 제어를 확보한다.
• 에지워스 급수는 어떤 푸리에 모드의 부분집합에도 적용될 수 있으며, 이는 제외된 모드에 대해 근사 수준에서 근사적으로 근사적으로 마진화하는 것과 동일하다는 점을 보여준다.
• 이론적 급수 이론을 활용해 에지워스 전개의 오차 행동을 분석함으로써, 이 급수가 발산하지만 오차 예측을 통해 최적의 절단점을 설정할 수 있음을 보여준다.
• 오차 행동을 모니터링함으로써 에지워스 급수의 최적 절단점을 예측하는 방법을 제안하여, 비물리적인 진동과 음수 가능도를 피한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 비정규 장에 대해 표준 에지워스 전개가 이론적으로 매력적이지만, 왜 천체물리학적 응용에서 실패하는가?
• RQ2 비정규 장에 대해 에지워스 전개를 어떻게 수정하면 관심 있는 비정규 신호를 평균화하지 않고 유지할 수 있는가?
• RQ3 비정규 장 분석에서 에지워스 급수의 최적 절단점은 무엇에 의해 결정되며, 어떻게 이를 예측할 수 있는가?
• RQ4 에지워스 전개를 푸리에 모드의 부분집합에 적용하는 것이 통계적으로 타당한가, 그리고 일관성을 잃지 않는가?
• RQ5 에지워스 전개에서 발생하는 병적인 행동—예를 들어 진동하는 오차와 음수 가능도—는 어떻게 발생하며, 체계적으로 피할 수 있는가?

주요 결과

• 원래의 에지워스 전개는 천체물리학적 응용에서 병적인 행동을 보이는데, 이는 비정규 신호가 평균화된 경우에만 수렴하기 때문이다. 이는 매개변수에 의존하는 비정규성을 탐지하는 목적을 상실하게 만든다.
• 에지워스 급수는 실용적으로 모든 목적에서 점점 발산하지만, 오차 행동을 예측하고 신중한 절단을 통해 제어할 수 있다.
• 에지워스 전개에 고차항을 포함한다고 해서 정확도가 보장되지 않으며, 오히려 오차는 처음에는 감소하다가 다시 증가할 수 있어, 가짜 제2 최대값과 음수 가능도와 같은 비물리적인 특징을 유도할 수 있다.
• 에지워스 급수의 최적 절단점을 오차 행동을 분석함으로써 예측할 수 있으며, 이는 비물리적인 근사치를 피하는 데 기여한다.
• 에지워스 전개를 푸리에 모드의 부분집합에 적용하는 것은 통계적으로 타당하며, 제외된 모드에 대해 마진화하는 것과 동일한 수준의 근사로 간주할 수 있다. 이는 관련 스케일에 집중한 분석을 가능하게 한다.
• 제시된 방법은 천문학에서 에지워스 전개를 제어되고 훼손되지 않은 방식으로 신뢰할 수 있게 사용할 수 있도록 하여, 매개변수 추론에 있어 베이지안 적용을 위한 길을 열어준다.