[논문 리뷰] On the valuation of arithmetic-average Asian options: Laguerre series and Theta integrals

Michael Schr oder|arXiv (Cornell University)|2000. 12. 01.

Economic theories and models인용 수 9

한 줄 요약

이 논문은 아시안 옵션 가격 정하기를 위한 빠르게 수렴하는 급수를 제공하기 위해 요르의 누적 과정의 음의 모멘트에 대한 재귀 규칙을 Θ 함수와 자코비 변환 공식을 사용하여 해결한다. 이는 데프레인의 라거르 급수 접근법을 엄밀하게 확립하고, 선형 조합으로서의 Θ 적분을 통한 수치적으로 안정적인 블랙-숄즈 가격을 도출한다.

ABSTRACT

In a recent significant advance, using Laguerre series, the valuation of Asian options has been reduced by Dufresne to computing the negative moments of Yor's accumulation processes. For these he has given functional recursion rules whose probabilistic structure has been the object of intensive recent studies of Yor and co-workers. Stressing the role of Theta functions, this paper now solves these recursion rules and expresses these negative moments as linear combinations of certain Theta integrals. Using the Jacobi transformation formula, very rapidly and very stably convergent series for them are derived. In this way computable series for Black--Scholes price of the Asian option result which are numerically illustrated. Moreover, the Laguerre series approach of Dufresne is made rigorous, and extensions and modifications are discussed. The key for this is the analysis of the integrability and growth properties of Yor's 1992 Asia density, basic problems which seem to be addressed here for the first time.

연구 동기 및 목표

• 산술 평균 아시안 옵션의 가격 정하기에 기초가 되는 요르의 누적 과정의 음의 모멘트에 대한 기능적 재귀 규칙을 해결하는 것.
• 특수 함수의 분석적 구조를 활용하여 이러한 음의 모멘트를 특정 Θ 적분의 선형 조합으로 표현하는 것.
• 요르의 1992년 밀도 함수의 이전에 다루지 않은 적분 가능성과 성장 성질을 다루며, 데프레인의 라거르 급수 접근법에 엄밀한 기초를 마련하는 것.
• 산술 평균 아시안 옵션의 블랙-숄즈 가격에 대해 수치적으로 안정적이고 매우 빠르게 수렴하는 급수 표현을 도출하는 것.
• 파생상품 가격 정하기에 더 넓은 적용 가능성을 갖도록 라거르 급수 방법의 확장 및 수정을 탐색하는 것.

제안 방법

• 산술 평균 아시안 옵션의 가격 정하기를 요르의 누적 과정의 음의 모멘트 계산으로 줄이기 위해 라거르 급수 전개를 사용한다.
• 이러한 음의 모멘트에 대한 재귀 규칙을 해결하기 위해 Θ 함수와 자코비 변환 공식을 적용한다.
• Θ 함수의 모듈라 성질을 활용하여 이 모멘트에 대한 매우 빠르게 수렴하는 급수 표현을 도출한다.
• 요르의 1992년 밀도 함수의 적분 가능성과 성장 행동을 분석하여, 이러한 기본 성질들에 대한 첫 번째 엄밀한 다루기를 제공한다.
• 수렴성과 안정성이 입증된 Θ 적분의 선형 조합으로서 블랙-숄즈 가격을 표현하여 계산 가능한 급수를 구축한다.
• 기능 방정식과 특수 함수 이론을 활용하여 수치적 강건성과 계산 효율성을 보장한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 특수 함수를 사용하여 요르의 누적 과정의 음의 모멘트에 대한 재귀 규칙를 어떻게 해석적으로 해결할 수 있는가?
• RQ2 Θ 함수와 자코비 변환 공식은 아시안 옵션 가격에 대한 매우 빠르게 수렴하는 급수를 구성하는 데 어떤 역할을 하는가?
• RQ3 요르의 1992년 밀도의 적분 가능성과 성장 성질은 무엇이며, 이는 라거르 급수 방법의 타당성에 어떻게 영향을 미치는가?
• RQ4 아시안 옵션 가격 정하기에 대한 라거르 급수 접근법을 어떻게 엄밀하게 만들 수 있으며, 수렴을 위한 필수 조건은 무엇인가?
• RQ5 산술 평균 아시안 옵션의 블랙-숄즈 가격에 대해 수치적으로 안정적이고 매우 빠르게 수렴하는 급수 표현을 어떻게 도출할 수 있는가?

주요 결과

• 요르의 누적 과정의 음의 모멘트는 특정 Θ 적분의 선형 조합으로 표현되어 분석적으로 다룰 수 있다.
• 자코비 변환 공식의 사용은 이 모멘트에 대한 매우 빠르게 수렴하고 안정적인 급수 표현을 이끌어낸다.
• 이 논문은 요르의 1992년 밀도 함수의 적분 가능성과 성장 성질에 대한 첫 번째 엄밀한 분석을 제공하여, 기초 수학적 프레임워크의 타당성을 입증한다.
• 라거르 급수 접근법은 공식적으로 정당화되고 확장되었으며, 수치적 안정성이 향상되었다.
• 산술 평균 아시안 옵션의 블랙-숄즈 가격에 대해 계산 가능한 급수를 도출하였으며, 수치적 예시를 통해 그 효율성과 정확성을 확인하였다.
• 이 방법은 기존 수치적 적분보다 빠르고 정밀도가 높은 수치적으로 강건한 가격 정하기 공식을 도출할 수 있게 한다.