[논문 리뷰] On the value-distribution of the Riemann zeta-function on the critical line

Justas Kalpokas, Jörn Steuding|ArXiv.org|2009. 07. 10.

Analytic Number Theory Research참고 문헌 15인용 수 30

한 줄 요약

이 논문은 임계선 ℂ(1/2 + it) 상에서 리만 제타함수의 값 분포를 조사하며, 리만 가설 하에서 그 실수부의 평균값이 정확히 1임을 증명한다. 무조건적으로는, 원점을 통과하는 사잇값과의 점근적 분석 및 이러한 점들에서의 제타값에 대한 모멘트 추정을 통해, 임계선 상에서 제타함수가 임의로 큰 실수값을 취함을 보인다.

ABSTRACT

We investigate the intersections of the curve $\mathbb{R} i t\mapsto ζ({1\over 2}+it)$ with the real axis. We show that if the Riemann hypothesis is true, the mean-value of those real values exists and is equal to 1. Moreover, we show unconditionally that the zeta-function takes arbitrarily large real values on the critical line.

연구 동기 및 목표

• ζ(1/2 + it)가 임계선에서 취하는 실수값의 분포를 분석하는 것.
• 리만 가설 하에서 실수값과의 교차에 대한 ζ(1/2 + it)의 평균값의 존재성과 그 값을 규명하는 것.
• 무조건적으로 ζ(1/2 + it)가 임의로 큰 실수값을 취함을 보이는 것.
• 고정된 사잇값 e^{iϕ}ℝ 상에 있는 점들에서 ζ(1/2 + it)의 첫 번째 및 두 번째 이산 모멘트에 대한 점근적 공식을 유도하는 것.
• 원점을 통과하는 직선과의 교차를 연구하여 ζ(1/2 + it)가 ℂ에서 조밀함을 위한 증거를 제공하는 것.

제안 방법

• ζ(1/2 + it)가 사잇값 e^{iϕ}ℝ 상에 있을 때의 점들을 나타내는 Φ(t; φ) = ζ(1/2 + it) − e^{2iϕ}ζ(1/2 − it)를 정의한다.
• 함수방정식과 Δ(s) = 2^s π^{s−1} Γ(1−s) sin(πs/2)의 성질을 이용하여 대칭성 및 정규화 성질을 도출한다.
• Δ(1/2 + it) = e^{2iϕ}를 만족하는 t ∈ (0,T]의 개수 N_ϕ^Δ(T)에 대한 점근적 공식을 수립하여, (T/2π) log(T/2πe) + O(log T)의 비율로 증가함을 보인다.
• 복소해석학 및 모멘트 추정을 통해, e^{iϕ}ℝ 상의 점들에서 ζ(1/2 + it)의 첫 번째 및 두 번째 이산 모멘트에 대한 점근적 표현을 도출한다.
• 이산 모멘트에 코시-슈바르츠 부등식을 적용하여 하드리 Z-함수의 네 번째 모멘트에 대한 하한을 유도한다.
• 그램 점과 ζ(1/2 + it)의 역행을 연결하여 결과를 알려진 Z(t_n) 및 그 모멘트에 대한 결과와 연관시킨다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 리만 가설 하에서 실수값(즉, ζ(1/2 + it) ∈ ℝ)에 대한 ζ(1/2 + it)의 평균값이 존재하는가? 존재한다면 그 값은 얼마인가?
• RQ2 무조건적으로 ζ(1/2 + it)가 어떤 실수 t에 대해 임의로 큰 실수값을 취함을 증명할 수 있는가?
• RQ3 ζ(1/2 + it)가 고정된 사잇값 e^{iϕ}ℝ 상에 있는 점 t ∈ (0,T]의 수의 점근적 행동은 어떠한가?
• RQ4 이러한 점들에서 ζ(1/2 + it)의 첫 번째 및 두 번째 이산 모멘트에 대한 점근적 공식은 무엇인가?
• RQ5 하드리 Z-함수의 모멘트는 임계선 상에서 ζ(1/2 + it)의 값 분포와 어떻게 관련되는가?

주요 결과

• 리만 가설 하에서 실수값에 대한 ζ(1/2 + it)의 평균값은 정확히 1이다.
• 무조건적으로 제타함수는 임계선 상에서 임의로 큰 실수값을 취한다.
• ζ(1/2 + it) ∈ e^{iϕ}ℝ를 만족하는 t ∈ (0,T]의 수는 점근적으로 (T/2π) log(T/2πe) + O(log T)로 증가한다.
• 실수값 상에서 ζ(1/2 + it)의 첫 번째 이산 모멘트는 점근적으로 2e^{iϕ}cosϕ · (T/2π) log(T/2πe) + O(T^{1/2+ε})이다.
• 실수값 상에서 ζ(1/2 + it)의 두 번째 이산 모멘트는 φ = 0일 때 점근적으로 (1/2) · (T/2π) log(T/2πe) + O(T^{1/2+ε})이다.
• 하드리 Z-함수의 네 제곱의 합에 대한 하한이 확립되었다: ∑_{n≤N} Z(t_n)^4 ≥ (1+o(1))N(log N)^2.