[논문 리뷰] On the vanishing of Selmer groups for elliptic curves over ring class fields

Matteo Longo, Stefano Vigni|ArXiv.org|2008. 06. 26.

Algebraic Geometry and Number Theory참고 문헌 13인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 복소 곱승이 없는 $$의 타원곡선 $E$에 대해, $L_K(E,\chi,1) \neq 0$이면 $p$-Selmer 군 $\mathrm{Sel}_p(E/H_c)$가 적절한 $p$-진 완비화 $\mathcal{W}$를 사용한 $\chi$-twist를 거친 후에 $H_c$에서 0이 됨을 증명한다. 이 결과는 Bertolini와 Darmon의 이전 작업을 비정상적 소수로 확장하며, 해석적 계수 0에서 $\chi$-twist된 Birch와 Swinnerton-Dyer 추측에 대한 새로운 대수적 증명을 제공한다.

ABSTRACT

Let E be a rational elliptic curve of conductor N without complex multiplication and let K be an imaginary quadratic field of discriminant D prime to N. Assume that the number of primes dividing N and inert in K is odd, and let H be the ring class field of K of conductor c prime to ND with Galois group G over K. Fix a complex character χof G. Our main result is that if the special value of the χ-twisted L-function of E/K is non-zero then the tensor product (with respect to χ) of the p-Selmer group of E/H with W over Z[G] is 0 for all but finitely many primes p, where W is a suitable finite extension of Z_p containing the values of χ. Our work extends results of Bertolini and Darmon to almost all non-ordinary primes p and also offers alternative proofs of a χ-twisted version of the Birch and Swinnerton-Dyer conjecture for E over H (Bertolini and Darmon) and of the vanishing of the p-Selmer group of E/K for almost all p (Kolyvagin) in the case of analytic rank zero.

연구 동기 및 목표

• 비정상적 소수 $p$로의 고리류체 위에서 타원곡선의 $p$-Selmer 군의 소멸을 일반화한다.
• 해석적 계수 0에서 $\chi$-twist된 Birch와 Swinnerton-Dyer 추측에 대한 대체 대수적 증명을 제공한다.
• L-값의 비영 조건을 이용해 Kolyvagin의 결과 $\mathrm{Sel}_p(E/K) = 0$이 거의 모든 $p$에 대해 성립하도록 확장한다.
• 평탄한 코hom로 수렴하는 초특이 소수에서의 국소 Selmer 군을 제어함으로써 비정상적 케이스를 다룰 수 있도록 한다.

제안 방법

• 고리류체의 갈루아 군 $G_c = \mathrm{Gal}(H_c/K)$를 순서 $\mathcal{O}_c$의 $\mathrm{Pic}(\mathcal{O}_c)$와 동일시하기 위해 계급체론을 사용한다.
• $\mathcal{W}$, 즉 $\mathbb{Z}[\chi]$의 $p$-진 완비화를 사용한 텐서곱을 통해 $p$-Selmer 군 $\mathrm{Sel}_p(E/H_c)$에 $\chi$-twist를 적용한다.
• 특히 초특이 케이스에서 양호한 감소를 가진 소수에서 국소 Kummer 사상의 상을 제어하기 위해 평탄한 코호몰로지 군을 사용한다.
• 분할된 $N^-$에 포함된 분할되지 않은 소수의 수가 홀수이므로, $L_K(f,\chi,s)$의 함수방정식 부호가 $+1$임을 이용한다.
• Knospe와 Darmon-Iovita의 영향을 받은 이와사와 이론 기법을 적용하여 비정상적 $p$를 다룬다.
• $E(H_c) \otimes \mathbb{C}$의 $\chi$-고유공간 분해을 사용하여 $E(H_c)^\chi$의 소멸을 유도한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 비정상적 소수 $p$에 대해 $\chi$-twist를 거친 후 $\mathrm{Sel}_p(E/H_c)$가 언제 0이 되는가?
• RQ2 $L_K(E,\chi,1) \neq 0$일 때, $\chi$-twist된 Birch와 Swinnerton-Dyer 추측을 대수적으로 증명할 수 있는가?
• RQ3 모든 유한한 $p$를 제외한 $\mathrm{Sel}_p(E/H_c) \otimes_\chi \mathcal{W}$의 소멸은 초특이 소수를 포함해 성립하는가?
• RQ4 초특이 소수에서 국소 Selmer 군을 어떻게 대수적으로 제어할 수 있을까? 이를 통해 정상적 감소를 넘어서 결과를 확장할 수 있는가?

주요 결과

• $L_K(E,\chi,1) \neq 0$ 이면, 모든 유한한 소수 $p$를 제외한 $\mathrm{Sel}_p(E/H_c) \otimes_\chi \mathcal{W} = 0$이다.
• 동일한 조건 하에 $\chi$-twist된 샤파레비치-타이트 그룹 $\mbox{\cyr{X}}_p(E/H_c) \otimes_\chi \mathcal{W}$ 역시 소멸한다.
• 순수하게 대수적 텐서 곱의 성격 덕분에 $p$ 뿐 아니라 $p^n$ ($n \geq 1$) 에 대해서도 성립한다.
• 이 결과는 이전 Bertolini와 Darmon의 작업에서 제외되었던 무한히 많은 비정상적 소수 $p$, 특히 초특이 소수를 포함한다.
• $L_K(E,\chi,1) \neq 0$ 이면 Mordell–Weil 군 $E(H_c)^\chi$ 역시 소멸하며, 이는 Bertolini와 Darmon의 결과를 복원한다.
• 비정상적 $p$를 다룰 수 있도록, $p$-진 자리에서 국소 Kummer 사상의 상을 제어하기 위해 평탄한 코호몰로지를 사용한 증명이 이루어진다.