[논문 리뷰] On the VC-dimension of convex sets and half-spaces.

Nicolas Grelier, Saeed Ilchi외 2명|arXiv (Cornell University)|2019. 07. 02.

Computational Geometry and Mesh Generation참고 문헌 10인용 수 1

한 줄 요약

이 논문은 기하적 설정에서 볼록 집합과 반평면으로 정의된 초그래프의 VC-차원을 조사한다. 평면상의 쌍별로 소속되지 않는 볼록 집합의 VC-차원은 정확히 3임이 입증되며, 일반적인 볼록 집합과 R^d (d ≥ 3)에서의 쌍별로 소속되지 않는 볼록 집합의 VC-차원은 유계가 아님을 보인다. 평면상의 선분의 경우 VC-차원은 최대 5이며, 이 상한은 날카로운 것이다.

ABSTRACT

A family $S$ of convex sets in the plane defines a hypergraph $H = (S,E)$ as follows. Every subfamily $S'\\subset S$ defines a hyperedge of $H$ if and only if there exists a halfspace $h$ that fully contains $S'$, and no other set of $S$ is fully contained in $h$. In this case, we say that $h$ realizes $S'$. We say a set $S$ is shattered, if all its subsets are realized. The VC-dimension of a hypergraph $H$ is the size of the largest shattered set. We show that the VC-dimension for \\emph{pairwise disjoint} convex sets in the plane is bounded by $3$, and this is tight. In contrast, we show the VC-dimension of convex sets in the plane (not necessarily disjoint) is unbounded. We also show that the VC-dimension is unbounded for pairwise disjoint convex sets in $\\mathbb{R}^d$, for $d\\geq 3$. We focus on, possibly intersecting, segments in the plane and determine that the VC-dimension is always at most $5$. And this is tight, as we construct a set of five segments that can be shattered. We give two exemplary applications. One for a geometric set cover problem and one for a range-query data structure problem, to motivate our findings.

연구 동기 및 목표

• 기하 배열에서 볼록 집합과 반평면에 의해 유도된 초그래프의 VC-차원을 결정하는 것.
• 소속되지 않음과 차원성 등의 기하 제약 조건이 볼록 집합 가족의 VC-차원에 미치는 영향을 분석하는 것.
• 특히 평면상의 선분에 대해 VC-차원에 대한 날카로운 상한을 설정하는 것.
• 기하 집합 커버와 범위 쿼리 데이터 구조 문제에 응용하여 이러한 이론적 상한의 실용적 관련성을 입증하는 것.

제안 방법

• 하나의 반평면 h에 의해 실현 가능한 부분가족 S' ⊆ S에 대응하는 초모서리가 있는 초그래프 H = (S, E)를 정의하는 것.
• 서로 다른 볼록 집합의 부분집합이 산란되는지 여부를 판단하기 위해 기하적 분리 및 포함 관계를 활용하는 것.
• R²와 R^d에서 반평면에 의한 실현 가능성을 분석하기 위해 조합 기하학과 이중성 기법을 적용하는 것.
• VC-차원 상한 5의 날카로움을 입증하기 위해 산란될 수 있는 다섯 개의 선분을 명시적으로 구성하는 것.
• 고차원에서 볼록 집합의 재귀적 구성 기법을 통해 유계가 아님을 증명하는 것.
• 볼록 집합의 구조와 그 교차의 성격을 활용하여 부분집합의 산란 능력에 상한을 설정하는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 평면상의 쌍별로 소속되지 않는 볼록 집합의 VC-차원은 무엇인가?
• RQ2 일반적인 (겹치는 것이 허용되는) 볼록 집합이 평면상에 있을 경우 VC-차원은 어떻게 행동하는가?
• RQ3 R^d (d ≥ 3)에서 쌍별로 소속되지 않는 볼록 집합의 VC-차원은 무엇인가?
• RQ4 평면상의 선분의 VC-차원은 무엇이며, 이 상한은 날카로운가?
• RQ5 이러한 VC-차원 상한은 실용적인 기하 문제에 어떻게 적용될 수 있는가?

주요 결과

• 평면상의 쌍별로 소속되지 않는 볼록 집합의 VC-차원은 정확히 3이며, 이 상한은 날카로운 것이다.
• 일반적인 볼록 집합이 평면상에 있을 경우 VC-차원은 유계가 아니며, 소속되지 않음을 요구하지 않더라도 마찬가지다.
• R^d (d ≥ 3)에서 쌍별로 소속되지 않는 볼록 집합의 VC-차원 역시 유계가 아니다.
• 평면상의 선분의 경우 VC-차원은 최대 5이며, 이 상한은 날카로운 것으로 입증되었으며, 산란될 수 있는 다섯 개의 선분을 구성한 예시가 제시되었다.
• VC-차원에 대한 이론적 상한은 기하 집합 커버 문제와 범위 쿼리 데이터 구조 문제에 적용되었으며, 실용적 관련성을 입증하였다.
• 소속되지 않음, 차원, 객체 유형(예: 선분 대비 일반 볼록 집합) 등의 기하 제약 조건에 따라 VC-차원 행동에 명확한 차이가 있음을 규명하였다.