[논문 리뷰] On the Vertex-Degree-Function Indices of Connected (n,m)-Graphs of Maximum Degree at Most Four

Abeer M. Albalahi, Igor Milovanović외 3명|arXiv (Cornell University)|2022. 07. 01.

Graph theory and applications인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 최대 차수 4인 연결된 $(n,m)$-그래프에서 정점 차수 함수 인덱스 $ H_f(G) $에 대한 날카운 상계와 하계를 차수 분포 제약 조건을 사용하여 도출한다. 주요 기여는 $ n $, $ m $, 그리고 $ 2m - n $ 의 3으로 나눈 나머지에 따라 날카로운 경계를 도출하는 통합 프레임워크를 제공하는 것으로, 등호 조건은 차수 2와 3인 정점의 수와 차수 집합에 의해 완전히 특징지어진다.

ABSTRACT

Consider a graph $G$ and a real-valued function $f$ defined on the degree set of $G$. The sum of the outputs $f(d_v)$ over all vertices $v\in V(G)$ of $G$ is usually known as the vertex-degree-function indices and is denoted by $H_f(G)$, where $d_v$ represents the degree of a vertex $v$ of $G$. This paper gives sharp bounds on the index $H_f(G)$ in terms of order and size of $G$ when $G$ is connected and has the maximum degree at most $4$. All the graphs achieving the derived bounds are also determined. Bounds involving several existing indices - including the general zeroth-order Randić index and coindex, the general multiplicative first/second Zagreb index, the variable sum lodeg index, and the variable sum exdeg index - are deduced as the special cases of the obtained ones.

연구 동기 및 목표

• 최대 차수 4인 연결된 $(n,m)$-그래프에서 정점 차수 함수 인덱스 $ H_f(G) $에 대한 날카로운 경계를 도출한다.
• 이 경계를 달성하는 모든 그래프를 그들의 차수 집합과 차수 2 및 3인 정점의 수에 따라 특징짓는다.
• 기존의 위상적 인덱스들—예를 들어 일반 제0차 랑드릭 인덱스, 잊혀진 공인덱스, 가변 합 지수 지수—를 하나의 분석적 프레임워크 안에서 통합하고 일반화한다.
• 함수 $ f $ 에 대한 다양한 조건 하에서 도출된 경계를 달성하는 극값 구조(차수 집합 기준)를 규명한다.

제안 방법

• 항등식 $ H_f(G) = \sum_{i=1}^4 n_i f(i) $ 를 사용하여 $ H_f(G) $ 를 정점 수 $ n_1, n_2, n_3, n_4 $ 의 선형 조합으로 표현한다.
• $ \sum_{i=1}^4 n_i = n $ 과 $ \sum_{i=1}^4 i n_i = 2m $ 의 제약 조건을 이용해 $ n_1 $ 과 $ n_4 $ 를 제거함으로써 $ H_f(G) $ 를 $ n, m, n_2, n_3 $ 의 함수로 줄인다.
• $ \Gamma_f(G) $ 를 $ n_2 $ 와 $ n_3 $ 를 포함하는 잔여 항으로 정의하며, 계수 $ \xi_1 = f(2) - \frac{2}{3}f(1) - \frac{1}{3}f(4) $ 과 $ \xi_2 = f(3) - \frac{1}{3}f(1) - \frac{2}{3}f(4) $ 를 사용한다.
• $ \xi_1 $ 과 $ \xi_2 $ 의 부호와 상대적 크기에 기반하여 $ \Gamma_f(G) $ 의 극값 경계를 설정한다. 특히 $ 2\xi_2 < \xi_1 < \xi_2/2 $ 또는 $ \xi_2/2 < \xi_1 < 2\xi_2 $ 의 조건에서 분석한다.
• $ n $ 과 $ m $ 에 대한 선형 항과 $ \Gamma_f(G) $ 의 극값을 조합하여 $ H_f(G) $ 의 경계를 도출하며, 이는 $ 2m - n \mod 3 $ 에 따라 달라진다.
• 항등식 $ TI(G) + \overline{TI}(G) = (n-1)H_f(G) $ 를 적용하여 $ H_f(G) $ 의 경계를 인덱스와 그 공인덱스의 합에 대한 경계로 변환한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 최대 차수 4인 연결된 $(n,m)$-그래프에서 정점 차수 함수 인덱스 $ H_f(G) $ 에 대한 날카로운 상계와 하계는 무엇인가?
• RQ2 이 경계를 달성하는 극값 그래프는 함수 $ f $, 순서 $ n $, 크기 $ m $, 그리고 $ 2m - n \mod 3 $ 의 값에 따라 어떻게 달라지는가?
• RQ3 기존의 알려진 위상적 인덱스들(예: 일반 제0차 랑드릭 인덱스, 잊혀진 공인덱스, 가변 합 지수 지수) 중 $ H_f(G) $ 의 특수한 경우인 것은 무엇이며, 이들의 경계는 일반 프레임워크에서 어떻게 유도되는가?
• RQ4 함수 $ f $ 에 어떤 조건이 성립할 경우 극값 그래프의 차수 집합이 $ \{1,2,4\} $, $ \{1,3,4\} $, 또는 $ \{1,4\} $ 가 되며, 이는 $ \xi_1 $ 과 $ \xi_2 $ 로 어떻게 결정되는가?
• RQ5 $ TI(G) + \overline{TI}(G) = (n-1)H_f(G) $ 의 항등식이 인덱스와 그 공인덱스의 합에 대한 경계를 유도하는 데 어떻게 기여하는가?

주요 결과

• 경계는 $ \frac{1}{3}(4f(1) - f(4))n + \frac{2}{3}(f(4) - f(1))m + \Gamma_f(G) $ 로 도출되며, 여기서 $ \Gamma_f(G) $ 는 $ n_2 $ 와 $ n_3 $ 에 의존하고, 계수 $ \xi_1 $ 과 $ \xi_2 $ 의 부호와 비율에 따라 극값이 결정된다.
• 만약 $ 2m - n \equiv 1 \pmod{3} $ 이면, $ \Gamma_f(G) $ 의 극값은 $ \xi_1 < 0 $ 이면 $ \xi_1 $ 이고 $ \xi_1 > 0 $ 이면 $ \xi_1 $ 이며, 이는 $ \xi_1 $ 과 $ \xi_2 $ 의 부호 조건에 따라 달라진다.
• 만약 $ 2m - n \equiv 2 \pmod{3} $ 이면, 동일한 부호 및 비율 조건 하에서 $ \Gamma_f(G) $ 의 극값은 $ \xi_2 $ 가 된다.
• 만약 $ 2m - n \equiv 0 \pmod{3} $ 이면, $ \Gamma_f(G) $ 의 극값은 0이며, 이는 오직 차수 1과 4만을 갖는 그래프에 해당한다.
• 함수 $ f(x) = x^2 $ 인 경우, 잊혀진 위상적 공인덱스 $ \overline{F}(G) $ 는 $ 2m - n \equiv 1 \pmod{3} $ 이면 $ \overline{F}(G) \leq 2(m(5n-26) - n(2n-11) + 8) $ 를 만족하며, 등호는 차수 집합이 $ \{1,2,4\} $ 이고 정확히 한 개의 차수 2 정점을 갖는 그래프일 때 성립한다.
• 함수 $ f(x) = \ln x^a $ 인 경우, 일반 곱형 제1차 제그마브 인덱스의 자연로그는 $ 2m - n \equiv 1 \pmod{3} $ 이면 $ \Pi_{1,a}(G) \leq 2^{\frac{a(4m - 2n + 1)}{3}} $ 를 만족하며, 등호는 차수 집합이 $ \{1,2,4\} $ 이고 정확히 한 개의 차수 2 정점을 갖는 그래프일 때 성립한다.