[논문 리뷰] On the Viscous Camassa-Holm Equations with Fractional Diffusion

Zaihui Gan, Fanghua Lin외 1명|arXiv (Cornell University)|2017. 09. 03.

Navier-Stokes equation solutions참고 문헌 28인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 두 차원 및 세 차원에서 분수 미분을 갖는 점성 Camassa-Holm 방정식에 대해 전역 적으로 잘 정의된 문제와 즉각적인 정규성 향상을 확립한다. 초기 자료가 $ D(A) $ 에 속할 경우, 해가 존재하고 유일한 해를 가지며, $ C_{[0,+rown{ ext{infty}})}(D(A)) \cap L^{2}_{[0,+rown{ ext{infty}}),loc}(D(A^{1+s/2})) $ 에 속한다. 이는 $ s \in [n/4,1) $, $ n=2,3 $ 에서의 최적 분수 차수를 보여준다. 주요 결과는 $ (n,s)=(2,1/2) $ 의临계 경우에서의 정규성 향상으로, 시간과 공간에 대한 허더 연속성 추정을 포함한다.

ABSTRACT

We study Cauchy problem of a class of viscous Camassa-Holm equations (or Lagrangian averaged Navier-Stokes equations) with fractional diffusion in both smooth bounded domains and in the whole space in two and three dimensions. Order of the fractional diffusion is assumed to be $2s$ with $s\in [n/4,1)$, which seems to be sharp for the validity of the main results of the paper; here $n=2,3$ is the dimension of space. We prove global well-posedness in $C_{[0,+\infty)}(D(A))\cap L^2_{[0,+\infty),loc}(D(A^{1+s/2}))$ whenever the initial data $u_0\in D(A)$, where $A$ is the Stokes operator. We also prove that such global solutions gain regularity instantaneously after the initial time. A bound on a higher-order spatial norm is also obtained.

연구 동기 및 목표

• 두 차원 및 세 차원에서 유계 영역과 전체 공간에서 분수 미분을 갖는 점성 Camassa-Holm 방정식에 대해 전역 적으로 잘 정의된 문제를 확립한다.
• 전역 해가 존재하고 정규성이 향상되는 분수 미분 차수 $ s \in [n/4,1) $ 의 최적 범위를 규명한다.
• 전역 해가 $ t>0 $ 이후 즉각적으로 정규성을 획득한다는 것을 증명한다. 특히 $ (n,s)=(2,1/2) $ 의 임계 경우에서도 마찬가지이다.
• 고차원 공간 노름과 해의 시간 및 공간 정규성에 대한 허더 유형 추정에 대한 정량적 경계를 유도한다.
• 클래식한 나비에-스토크스 유형 방정식 결과를 Camassa-Holm 프레임워크에서의 비국소 미분 설정으로 확장한다.

제안 방법

• 스펙트럼 분해를 통한 스토크스 연산자 $ A = \mathcal{P}(-\Delta) $ 에 기반한 스펙트럼 분수 스토크스 연산자 $ A^s $ 를 사용하여 비국소 점성 효과를 모델링한다. $ s \in [n/4,1) $.
• 에너지 추정과 분수 진화 방정식 이론을 사용하여 비선형 항 $ f(u,u) = u \cdot \nabla (1 - \alpha^2 \Delta)u - \alpha^2 \nabla u^T \cdot \Delta u $ 이 $ L^2_T(D(A^{1-s/2})) $ 에서 제어된다.
• 적절한 함수 공간 $ B $ 에서 바나흐 수축 원리에 기반한 고정점 방법을 구성하기 위해 분수 반응군 $ e^{-t\nu A^s} $ 을 적용한다. 이 공간은 시간에 대한 허더 연속성으로 정의된다.
• 비선형 연산자의 유계성을 활용하여 해와 그 증분에 대해 $ L^\infty_T(D(A)) \cap L^2_T(D(A^{1+s/2})) $ 에서 사전 추정을 수립한다.
• 분수 반응군을 사용하여 시간 정규성 추정을 도출한다. 특히 표준 공액 추정이 부족한 임계 경우 $ (n,s) = (2,1/2) $ 에서 중요한 역할을 한다.
• 수축 사상 원리와 정리 3.1의 전역 존재 결과를 결합하여, $ t=0 $ 이후 즉각적으로 해가 정규성을 획득한다는 것을 증명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 분수 미분 차수 $ s \in [n/4,1) $ 의 최적 범위는 무엇인가? 이는 두 차원 및 세 차원에서 점성 Camassa-Holm 방정식이 전역적으로 잘 정의된 문제인지 보장한다.
• RQ2 분수 점성 Camassa-Holm 방정식의 전역 해는 $ t=0 $ 이후 즉각적으로 정규성을 획득할 수 있는가? 특히 $ s = n/4 $ 의 임계 경우에서도 마찬가지인가?
• RQ3 고차원 공간 노름 $ \|A^{s/2}u(t)\|_{D(A)} $ 과 해의 시간 허더 연속성에 대해 어떤 정량적 경계를 설정할 수 있는가?
• RQ4 해의 정규성은 $ D(A) $ 에 속하는 초기 자료에 어떻게 의존하는가? 이는 시간 가중 추정을 통해 정량화할 수 있는가?
• RQ5 임계 경우 $ (n,s)=(2,1/2) $ 에서의 향상된 정규성 결과를 비국소 미분 하에 고차 정규성 또는 경계 정규성으로 확장할 수 있는가?

주요 결과

• 초기 자료 $ u_0 \in D(A) $ 에 대해, $ s \in [n/4,1) $, $ n=2,3 $ 에서 $ C_{[0,+rown{ ext{infty}})}(D(A)) \cap L^{2}_{[0,+rown{ ext{infty}}),loc}(D(A^{1+s/2})) $ 에서 전역 적으로 잘 정의된 문제를 증명한다. 에너지 방법을 통해 이 범위의 최적성을 입증한다.
• 해는 즉각적으로 정규성을 획득한다: 모든 $ t>0 $ 에 대해 $ u(t) \in D(A^{1+s/2}) $ 이며, 임계 경우 $ (n,s)=(2,1/2) $ 에서는 $ \|u(t)\|_{D(A^{1+s/2})} \leq C \|u_0\|_{D(A)} t^{-1/2} $ 를 만족한다.
• $ (n,s)=(2,1/2) $ 에서 해는 시간에 대해 허더 연속성을 만족한다: $ h \in [0,1] $, $ \beta \in (0,1) $ 에 대해 $ \|u(t+h)-u(t)\|_{D(A)} \leq C h^\beta (1+t^{-\beta}) \|u_0\|_{D(A)} $.
• 해는 추정 $ \|A^{s/2}(u(t+h)-u(t))\|_{D(A)} \leq C h^\beta (1+t^{-(\beta+1/2)}) \|u_0\|_{D(A)} $ 를 만족하여 분수 도함수 공간에서의 향상된 정규성을 보여준다.
• 해는 $ C^\beta_{loc}((0,T]; D(A^{1+s/2})) $ 에서 유계이며, 이 노름은 $ C_7 M^2 $ 로 제어된다. 여기서 $ M = \|u_0\|_{D(A)} $.
• 반응군 $ e^{-t\nu A^s} $ 과 반복 수렴이 수렴하는 반복 스킴을 보장하는 반복 구간 반경 $ M $ 내에서의 수축 사상 원리를 통해 고정점 방법을 적용하여, 전역 해 $ u_* $ 의 존재성과 유일성을 증명한다.